Questões de Matemática - ITA 2012 | Gabarito e resoluções

[ITA 2012 - 1 FASE] Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Ento, o nmero de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada igual a:

(ITA 2012- 2 fase -Questo 1) Dez cartes so numerados de 1 a 10. Depois de embaralhados, so formados dois conjuntos de 5 cartes cada. Determine a probabilidade de que os nmeros 9 e 10 apaream num mesmo conjunto.

(ITA 2012- 2 fase -Questo 2) Determine os valores reais de x de modo que sen(2x) 3 cos(2x) seja mximo.

(ITA 2012- 2 fase -Questo 3) Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal so 1, 1 + x1, 1+x2, . . . , 1+xn e todos os outros termos so iguais a 1. Sabe-se que (x1, x2, . . . , xn) uma progresso geomtrica cujo primeiro termo e a razo 4. Determine a ordem da matriz A para que o seu determinante seja igual a 256.

[ITA 2012 - 1 FASE] Sejam z = n2(cos 45 + i sen 45) e w = n(cos 15+ i sen 15), em que n o menor inteiro positivo tal que (1 + i)n real. Ento, igual a

(ITA - 2012) Seja n um nmero natural. Sabendo que o determinante da matriz igual a 9, determine n e tambm a soma dos elementos da primeira coluna da matrizinversa A-1.

(ITA 2012- 2 fase -Questo 5) Em um plano esto situados uma circunferncia de raio 2 cm e um ponto P que dista 2 2 cm do centro de . Considere os segmentos PA e PB tangentes a nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a regio fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor ⌢ AB em torno de um eixo passando pelo centro de e perpendicular ao segmento PA, obtm-se um slido de revoluo. Determine: a) A rea total da superfcie do slido. b) O volume do slido.

(ITA 2012- 2 fase -Questo 6) As intersees das retas, e , duas a duas, respectivamente, definem os vrtices de um tringulo que a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades de comprimento. Determine: a) A rea total da superfcie do prisma. b) O volume do prisma.

(ITA 2012- 2 fase -Questo 7) Dos n alunos de um colgio, cada um estuda pelo menos uma das trs matrias: Matemtica, Fsica e Qumica. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemtica, 32% estudam Qumica e 36% estudam Fsica. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam apenas Fsica e Matemtica, enquanto 4% estudam todas as trs matrias. Os alunos que estudam apenas Qumica e Fsica mais aqueles que estudam apenas Matemtica e Qumica totalizam 63 estudantes. Determine n.

[ITA 2012 - 1 FASE] Considere um polinmio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que 2i e so duas de suas razes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinmio q(x)=x-5 obtm-se resto zero e que . Ento, p(-1) igual a

(ITA 2012- 2 fase -Questo 8) Analise se, bijetora e, em caso afirmativo, encontre.

(ITA 2012- 2 fase -Questo 9) Determine os valores de, tais que

[ITA 2012 - 1 FASE] Sejam A= (0,0) , B = (0,6) e C = (4,3) vrtices de um tringulo. A distncia do baricentro deste tringulo ao vrtice A, em unidades de distncia, igual a:

(ITA 2012- 2 fase -Questo 10) As retas e so concorrentes no ponto P, exterior a um crculo . A reta tangencia no ponto A e a reta intercepta nos pontos B e C diametralmente opostos. A medida do arco 60e mede cm. Determine a rea do setor menor de definido pelo arco .

[ITA 2012 - 1 FASE] A rea do quadriltero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x 3y + 3 = 0 e s: 3x + y 21 = 0, em unidades de rea igual a: