Questões de Matemática - UNESP 2012 | Gabarito e resoluções

D(UNESP - 2012/2 - 2a fase - Questo 22) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver o chamado gol olmpico, marcado como resultado da cobrana direta de um escanteio. Suponha que neste tipo de gol: 1. A projeo da trajetria da bola descreva um arco de circunferncia no plano do gramado; 2. A distncia (d) entre o ponto da cobrana do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m; 3. A distncia mxima (h) da projeo da trajetria da bola linha de fundo do campo seja 1 m; Determine o raio da circunferncia (R), em metros, do arco descrito pela trajetria da bola, com uma casa decimal de aproximao.

(UNESP - 2012- 2 fase) O nmero de quatro algarismos 77XY, onde X o dgito das dezenas e Y o das unidades, divisvel por 91. Determine os valores dos dgitos X e Y.

(UNESP - 2012- 2 fase) Um arteso foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase final de construo. Para realizar o servio, ele precisa de pedaos triangulares de vidro, os quais sero cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bolhas de ar (n = 0, 1, 2). Sabendo que no h 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum vrtice do pentgono, e nem 1 delas alinhada com dois vrtices do pentgono, o arteso, para evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaos de vidro triangulares com vrtices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vrtices do pentgono. Nessas condies, determine a lei de formao do nmero mximo de tringulos (T) possveis de serem cortados pelo arteso, em funo do nmero (n) de bolhas de ar contidas no vidro utilizado.

(UNESP - 2012/2 - 2a fase - Questo 23) Um prdio hospitalar est sendo construdo em um terreno declivoso. Para otimizar a construo, o arquiteto responsvel idealizou o estacionamento no subsolo do prdio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepo do hospital est 5 metros acima do nvel do estacionamento, sendo necessria a construo de uma rampa retilnea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoo. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepo, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinao mnima de 30 e mxima de 45. Nestas condies e considerando quais devero ser os valores mximo e mnimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso?

(UNESP - 2012/2 - 2a fase - Questo 24) Identifique o lugar geomtrico das imagens dos nmeros complexos Z, tais que |Z| + |3 Z| = 12.

(UNESP - 2012- 2 fase) Sejam dois espelhos planos (E1 e E2), posicionados verticalmente, com suas faces espelhadas voltadas uma para outra, e separados por uma distncia d, em centmetros. Suspensos por finas linhas, dois pequenos anis (A e B) so posicionados entre esses espelhos, de modo que as distncias de A e B ao espelho E1sejam, respectivamente, a e b, em centmetros, e a distncia vertical entre os centros dos anis seja h, em centmetros, conforme mostra a figura. Determine o ngulo de incidncia , em relao horizontal, em funo de a, b, d e h, para que um feixe de luz atravesse o anel A, se reflita nos espelhos E1, E2e E3e atravesse o anel B, como indica o percurso na figura. Admita que os ngulos de incidncia e de reflexo do feixe de luz sobre um espelho sejam iguais.

(UNESP - 2012 - 1a Fase)Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE) realizou o ltimo censo populacional brasileiro, que mostrou que o pas possua cerca de 190 milhes de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso pas no se altere para o prximo sculo, e que a populao se estabilizar em torno de 280 milhes de habitantes, um modelo matemtico capaz de aproximar o nmero de habitantes (P), em milhes, a cada ano (t), a partir de 1970, dado por: . Baseado nesse modelo, e tomando a aproximao para o logartmo natural a populao brasileira ser 90% da suposta populao de estabilizao aproximadamente no ano de:

(UNESP - 2012 - 1a Fase)A figura mostra um paraleleppedo reto-retngulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centmetros. A distncia, em centmetros, do vrtice A diagonal BH vale:

(UNESP - 2012/2 - 1a fase) O mercado automotivo na Amrica Latina crescer, no mximo, 2% em 2012. A estimativa que, aps esse perodo, ele voltar a expandir-se mais rapidamente, o que permitir um crescimento mdio de 5% nos prximos cinco anos. A afirmao foi feita pelo presidente da GM na Amrica do Sul. Suas estimativas para as vendas, especificamente da GM na Amrica Latina, so de 1,1 milho de unidades em 2012 e de chegar a 1,4 milho de veculos por ano at 2015. (http://economia.estadao.com.br, 06.10.2011. Adaptado.) A estimativa de que as vendas da GM, na Amrica Latina, chegaro a 1,4 milho de unidades no ano de 2015 pode ser considerada

(UNESP - 2012/2 - 1a fase) No conjunto IR dos nmeros reais, o conjunto soluo S da inequao modular|x| |x 5| 6:

(UNESP - 2012 - 1a Fase) Leia o trecho a seguir: No dia 11 de maro de 2011, o Japo foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacfico, a 360 km de Tquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami aps 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934, onde o ngulo Epicentro-Tquio-Sendai, e que 28 32 93,4 215.100, a velocidade mdia, em km/h, com que a 1. onda do tsunami atingiu at a cidade de Sendai foi de:

(UNESP - 2012/2 - 1a fase) Dada a matriz e definindo-se A0 = I, A1 = A e AK = A A A A, com k fatores, onde I uma matriz identidade de ordem 2, k IN*, a matriz A15 ser dada por:

(UNESP - 2012 - 1a Fase) Dado que as razes da equao , onde k uma constante real, formam uma progresso aritmtica, o valor de k :

(UNESP - 2012/2 - 1a fase) Diferentes tipos de nanomateriais so descobertos a cada dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, de baixo custo. So considerados nanomateriais aqueles cujas dimenses variam entre 1 e 100 nanmetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 109 m, ou seja, um bilionsimo de metro. Uma das caractersticas dos nanomateriais refere-se relao entre seu volume e sua rea superficial total. Por exemplo, em uma esfera macia de 1 cm de raio, a rea superficial e o volume valem 4 cm2 e (4/3) cm3, respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas reas superficiais

(UNESP -2012 - 1a Fase) Um quilograma de tomates constitudo por 80% de gua. Essa massa de tomate (polpa + H2O) submetida a um processo de desidratao, no qual apenas a gua retirada, at que a participao da gua na massa de tomate se reduza a 20%. Aps o processo de desidratao, a massa de tomate, em gramas, ser de: