(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 12)Seja um polin

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questão 12)

Seja \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + a_1x+a_0\) um polinômio de grau \(n\) tal que a \(a_n \neq 0\) e \(a_j \varepsilon IR\) para qualquer \(j\) entre 0 e \(n\). Seja \(g(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} +\cdot \cdot \cdot + 2a_2x + a_1\) o polinômio de grau \(n-1\) em que os coeficientes \(a_1, a_2, \cdot \cdot \cdot, a_n\) são os mesmos empregados na definição de f(x).

a) Supondo que n = 2, mostre que \(g(x + \frac {h}{2}) = \frac {f(x + h) - f(x)}{h}\), para todo \(x\),\(h \varepsilon IR\), \(h \neq 0\).

b) Supondo que n = 3 e que \(a_3 = 1\), determine a expressão do polinômio f(x), sabendo que f(1) = g(1) = f(–1) = 0.