Questões de Matemática - FUVEST 2009 | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 1) Na figura ao lado, a reta r tem equao no plano cartesiano Oxy. Alm disso, os pontos B0, B1, B2, B3 esto na reta r, sendo B0=(0,1) . Os pontos A0, A1, A2, A3 esto no eixo Ox, com A0 = O = (0,0) . O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para . Os segmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 so paralelos ao eixo Oy, os segmentos B0D1 , B1D2 , B2D3 so paralelos ao eixo Ox, e a distncia entre Bi e Bi+1 igual a 9, para . Nessas condies: a) Determine as abscissas de A1, A2, A3. b) Sendo Ri o retngulo de base Ai Ai +1 e altura , Ai +1 Di +1 para , calcule a soma das reas dos retngulos R0 , R1 e R2 .

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 2) Na figura, esto representadas a circunferncia C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q , de tal modo que: 1. O ponto O pertence ao segmento . 2. OP=1, OQ= . 3. A e B so pontos da circunferncia, e Assim sendo, determine: a) A rea do tringulo APO . b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C . c) A rea da regio hachurada.

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 3) Considere o sistema de equaes nas variveis x e y, dado por Desse modo: a) Resolva o sistema para m=1. b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas solues. c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma soluo da forma (x, y ) = (,1) , sendo um nmero irracional.

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 4) O tringulo ABC da figura ao lado equiltero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados , e do tringulo. Alm disso, os ngulos e so retos e a medida do segmento x . Assim, determine: a) A rea do tringulo AFE em funo de x . b) O valor de x para o qual o ngulo tambm reto.

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 5) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razo negativa, . Alm disso, a diferena entre o stimo termo e o segundo termo da PG igual a 3. Nessas condies, determine: a) A razo da PG. b) A soma dos trs primeiros termos da PG

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 6) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constitudo por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itlia e 6 garrafas da Frana, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras possvel escolher 10 garrafas desse lote? b) De quantas maneiras possvel escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itlia e 4 da Frana? c) Qual a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itlia e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois pases?

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 7) No plano cartesiano Oxy, a circunferncia C tem centro no ponto A (-5,1) e tangente reta t de equao 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de interseco da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equao para a circunferncia C . c) Calcule a rea do tringulo APQ.

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 8) Para cada nmero real m, considere a funo quadrtica f(x) = x+mx+2. Nessas condies: a) Determine, em funo de m, as coordenadas do vrtice da parbola de equao y = f(x). b) Determine os valores de para os quais a imagem de f contm o conjunto . c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f igual ao conjunto e, alm disso, f crescente no conjunto . d) Encontre, para a funo determinada pelo valor de m do item c) e para cada , o nico valor de tal que f(x) = y .

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 9) Seja x no intervalo satisfazendo a equao . Assim, calcule o valor de a) b)

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questo 10) A figura representa uma pirmide ABCDE, cuja base o retngulo ABCD. Sabe-se que Nessas condies, determine: a) A medida de BP . b) A rea do trapzio BCQP . c) O volume da pirmide BPQCE .

(FUVEST - 2009 - 1 FASE)H um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, aps um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este perodo de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de

(FUVEST -2009) Na figura, B, C e D so pontosdistintos da circunferncia de centro O, e o ponto A exterior a ela. Alm disso, A, B, C e A, O, D so colineares; AB = OB; CD mede radianos. Nessas condies, a medida de , em radianos, igual a

(FUVEST - 2009 - 1 FASE)O polinmio p x = x + ax + bx,em quea e b so nmeros reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x 2 e x 1, respectivamente. Assim, o valor de a

(FUVEST - 2009 - 1 FASE)Os comprimentos dos lados de um tringulo ABC formam uma PA . Sabendo-se tambm que o permetro de ABC vale 15 e que o ngulo mede 120, ento o produto dos comprimentos dos lados igual a

(FUVEST -2009 -1 FASE) O nmero real a o menor dentre os valores de x que satisfazem a equao Ento, igual a