Questões de Matemática - FUVEST 2014 | Gabarito e resoluções

(Fuvest 2014 - 2 fase) Dados e ݊inteiros, considere a função ݂ definida por para a) No caso em que, mostre que a igualdadese verifica. b) No caso em que, ache as interseções do gráfico decom os eixos coordenados. c) No caso em que, esboce a parte do gráfico deem que, levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de de respostas (imagem abaixo). d) Existe um par de inteirostal que a condiçãocontinue sendo satisfeita?

(Fuvest 2014 - 2 fase) Considere a circunferênciade equação cartesianae a parábolade equação a) Determine os pontos pertencentes à interseção decom. b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas (imagem abaixo), a circunferênciae a parábola. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontosque satisfazem, simultaneamente, as inequaçõese

(Fuvest 2014 - 2 fase) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx+ c são reais. Sabendo que1 e 1 + i, com 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8, determine a) o valor de ; b) o quociente de p(x) por (x +1). i é a unidade imaginária, i2 =1

(Fuvest 2014 - 2 fase) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento, e o ângulo agudo formado pore L mede 60. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudocom o segmentoe o mesmo ângulo agudocom o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente dee o senho de.

(Fuvest 2014 - 2 fase) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma corsão idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por: i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas. Sendoe, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine a) os quocientes e; b) o númerode bolas azuis e o númeroe bolas brancas no recipiente.

(Fuvest - 2014 - 2 FASE) Considere o tringulo equilterode lado 7 cm. a) Sendo o ponto mdio do segmento, eo ponto simtrico deem relao reta determinada pore, determine o comprimento de. b) Repetido a construo do item a), tomando agora como ponto de partida o tringulo, pode-se obter o tringulotal que o ponto mdio do segmento, ee o ponto simtrico deem relao reta determinada pore. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtm-se o tringulo. Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequncia de tringulostais que, para todo, o ponto mdio de, e, o ponto simtrico deem relao reta determinada pore, conforme figura ao lado. Denotando por, para, o comprimento do segmento, verifique que uma progresso geomtrica. Determine sua razo. c) Determine, em funo de n, uma expresso para o comprimento da linha poligonal O ponto simtrico ao ponto em relao reta se o segmento perpendicular reta e a interseo dee o ponto mdio de.

(FUVEST 2014 - 2 FASE) Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma fora gravitacional vertical uniforme, sobre um escorregador logartmico: suas coordenadas (x, y) no plano cartesiano, que representam distncias medidas em metros, pertencem ao grfico da funo . O corpo comea sua trajetria, em repouso, no ponto A, de abscissa x =1, e atinge o cho no ponto B, de ordenada y = 0, conforme figura ao lado. No levando em conta as dimenses do corpo e adotando 10 m/scomo o valor da acelerao da gravidade, a) encontre a abscissa do ponto B; b) escreva uma expresso para a energia mecnica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v; c) obtenha a velocidade escalar v como funo da abscissa do ponto ocupado pelo corpo; d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual b maior do que.

(FUVEST 2014 - 2 FASE) Deseja-se formar uma comisso composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo s seguintes condies: (i) nenhuma unidade da Federao ter dois membros na comisso, (ii) cada uma das duas regies administrativas mais populosas ter dois membros e (iii) cada uma das outras trs regies ter um membro. a) Quantas unidades da Federao tem cada regio? b) Chame de ܰ nmero de comisses diferentes que podem ser formadas (duas comisses so consideradas iguais quando tm os mesmos membros). Encontre uma expresso para ܰ e simplifique-a de modo a obter sua decomposio em fatores primos. c) Chame de ܲa probabilidade de se obter uma comisso que satisfaa as condies exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que ܲ.

(FUVEST 2014) Um apostador ganhou um prêmio de ܴ̈́R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

(FUVEST 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a

(FUVEST - 2014) O nmero real x, que satisfaz 3 x 4, tem uma expanso decimal na qual os 999.999 primeiros dgitos direita da vrgula so iguais a 3. Os 1.000.001 dgitos seguintes so iguais a 2 e os restantes so iguais a zero. Considere as seguintes afirmaes: I. x irracional. II. III. x 102.000.000 um inteiro par. Ento,

(FUVEST 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

(FUVEST - 2014) Sobre a equao correto afirmar que

(FUVEST 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo a medida do ângulo AÔB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se

(FUVEST 2014) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana.