Questões de Matemática - IME 2019 | Gabarito e resoluções

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Sejam e razes da equao , e razes da equao . Sabendo-se que e formam uma progresso geomtrica crescente, determine o valor de .

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros nmeros naturais maiores que zero. Considere que zeros esquerda so omitidos. Seja o conjunto de nmeros cuja representao na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e o conjunto de nmeros cuja representao na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de e de so, respectivamente: Cardinalidade de um conjunto finito o nmero de elementos distintos desse conjunto

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Seja uma regio no plano complexo que consiste em todos os pontos tais que e possuem partes real e imaginria entre 0 e 1, inclusive. Determine a rea da regio . Obs: o conjugado do nmero complexo .

(IME - 2019/2020) O menor nmero natural mpar que possui o mesmo nmero de divisores que 1800 est no intervalo:

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Considere os conjuntos e . Seja o conjunto de funes cujo domnio e cujo contradomnio . Escolhendo-se ao acaso uma funo de , a probabilidade de ser estritamente crescente ou ser injetora :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Os modelos de placas de identificao de automveis adotadas no Brasil esto sendo atualizados. Atualmente, o modelo antigo (trs letras seguidas de quatro algarismos) est sendo gradativamente substitudo pelo modelo novo (trs letras seguidas de um algarismo, uma letra e dois algarismos). Placas de modelos distintos podem apresentar sequncias de caracteres alfanumricos iguais. Por exemplo, a sequncia de caracteres 20 aparece nas combinaes e , enquanto a sequncia A12 aparece nas combinaes e . Considere a placa do modelo antigo IME2019. Seja o conjunto de placas do modelo novo que podem ser formadas com alguma sequncia de trs caracteres em comum com a placa IME2019. Determine o nmero de elementos de . Por exemplo, e pertencem ao conjunto . no pertence ao conjunto . Obs: considere o alfabeto com 26 letras.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z so solues inteiras do sistema abaixo. O valor de S :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Em um jogo, Joo e Maria possuem cada um trs dados no viciados com seis faces numeradas de 1 a 6. Cada um lanar os seus dados, sendo Joo o primeiro a lanar. O vencedor ser aquele que obtiver o maior nmero de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencer aquele que tiver o maior nmero nos dados de igual resultado. Se ainda houver empate, no haver vencedor. Suponha que Joo obteve apenas dois dados com mesmo resultado. Qual a probabilidade de Maria vencer o jogo?

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Uma matriz semelhante a uma matriz se e somente se existe uma matriz invertvel tal que a) Se e forem semelhantes, mostre que . b) Dadas e , verifique se essas matrizes so semelhantes.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Seja onde o conjunto dos nmeros complexos. O valor do produto entre o simtrico do complexo de menor mdulo do conjunto e o conjugado do complexo de maior mdulo do mesmo conjunto :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Sabendo que, encontre todos os valores reais de x que satisfazem a seguinte inequao: onde a parte real do nmero complexo Z.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Um polinmio de grau maior que 3 quando dividido por e deixa restos e , respectivamente. O resto da diviso de por :

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Um inteiro positivo escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vrtice, calculado o produto dos nmeros escritos nas trs faces adjacentes. Se a soma desses produtos 1105, a soma dos seis nmeros das faces :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Seja Determine b, onde b pertence ao conjunto dos nmeros inteiros no nulos.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Uma progresso geomtrica formada com os nmeros naturais e , nessa ordem. O possui a mesma mantissa, , do e a caracterstica do . Sabe-se que e que possui o maior valor possvel. O valor da mantissa do :