[IME - 2020/2021 - 2 fase]Espao: a fronteira final

[IME - 2020/2021 - 2ª fase] 

"Espaço: a fronteira final." Certa vez, esta conhecida nave interplanetária teve seu disco defletor destruído e entrou, logo em seguida, em movimento. Sabe-se que o disco defletor tem a funcionalidade de desviar qualquer partícula espacial que, mesmo pequena, em altas velocidades, poderia destruir a nave. 
Considere uma outra nave espacial, de menor porte, que tenha sofrido o mesmo dano em seu disco defletor e seja obrigada a usar o escudo de força para se proteger. Seu escudo, ao invés de repelir, absorve a massa das partículas espaciais, como em choques perfeitamentes inelásticos. O excesso de energia cinética, após cada choque, é dissipado pelo escudo, mas qualquer carga elétrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para o planeta ocupado mais próximo, para sofrer reparos. Por conta dos sanos, só foi possível gerar uma velocidade inicial v₀ de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados até o momento de entrar em órbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de partículas eletricamente carregadas, realizando um trajeto retilínio de comprimento L. Em média, uma partícula por quilômetro é encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma região distante de qualquer influência gravitacional. Sabe-se que a nave permanecerá em uma órbita equatorial ao redor do planeta, cujo campo magnético apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo Norte (N) para o polo Sul (S). 

Dados: 

- nave: massa inicial m₀ = 300 toneladas e carga inicial q₀ nula; 

- partículas: massa média m = 100 mg e carga elétrica média q = 715 \(\mu\)C; 

- planeta: massa M = 6,3 x 10²⁴ kg, raio R = 7.000 kg e intensidade do campo magnético B = 5 x 10^-5 T;

- constante de gravitação universal G = 6,67 x 10^-11 N.m²/kg²;

- velocidade da luz: c = 3 x 10⁸ m/s; e 

- comprimento da nuvem L = 7,5 x 10⁸ km.

Observação: despreze a intensidade da força de repulsão entre as cargas de mesmo sinal. 

Diante do exposto, pede-se a: 

a) velocidade final da nave logo após o último choque; 

b) energia máxima dissipada pelo escudo em um único choque; e 

c) velocidade mínima da nave para manter uma órbita de altura H = 35 x 10³ km acima da superfície do planeta.