Questões de Matemática - ITA 2016 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2016 - 1 FASE) Seja ABC um tringulo equiltero e suponha que M e N so pontos pertencentes ao lado tais que BM = MN = NC. Sendo a medida, em radianos, do ngulo MN , ento o valor de cos

(ITA - 2016 - 1 FASE) Uma esfera S1, de raio R 0, est inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S2, de raio r, com 0 r R, est contida no interior de K e simultaneamente tangente esfera S1 e superfcie lateral de K. O volume de K igual a

(ITA - 2016 - 1 FASE) Considere o polinmio p com coeficientes complexos definido por p(z) = z4 + (2 + i)z3 + (2 + i)z2 + (2 + i)z + (1 + i). Podemos armar que

(ITA - 2016 - 1 FASE) Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possvel de N igual a

(ITA - 2016 - 1 FASE) Em um tringulo equiltero ABC de lado 2, considere os pontos O, M e N pertencentes aos lados , e , respectivamente, tais que a) O o ponto mdio de ; b) M o ponto mdio de ; c) ON a bissetriz do ngulo AC. Ento, o comprimento do segmento igual a

(ITA - 2016 - 2 FASE) Seja f a funo definida por. Determine: a) O domnio da funo f. b) O conjunto de todos os valores de tais que f(x) = 2. c) O conjunto de todos os valores de tais que f(x) 1.

(ITA - 2016 - 2 FASE) Sejam x e y pertencentes ao intervalo. Determine todos os pares ordenados (x,y) tais que

(ITA - 2016 - 2 FASE) Um hexgono convexo regular H e um tringulo equiltero T esto inscritos em circunferncias de raios e , respectivamente. Sabendo-se que H e T tm mesma rea, determine a razo .

(ITA - 2016 - 2 FASE) Seja A a matriz de ordem 3 x 2, dada por a) Determine todas as matrizes B tais que BA = I2 b) Existe uma matriz B com BA=I2que satisfaa BBT= I2? Se sim, d um exemplo de uma dessas matrizes.

(ITA - 2016 - 2 FASE) Numa certa brincadeira, um menino dispe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada apenas com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele v a letra correspondente e devolve a bola caixa. Se essa letra for N, ele d um passo na direo Norte, se S, em direo Sul, se L, na direo Leste e se O, na direo Oeste. Qual a probabilidade de ele voltar para a posio inicial no sexto passo?

(ITA - 2016 - 2 FASE) Sejam um subconjunto de e um ponto de .Define-se distncia de a , , como a menor das distncias ,com : Sejam e a) Determine quando e quando b) Determine o lugar geomtrico dos pontos do plano equidistantes de e de

(ITA - 2016 - 2 FASE) Sejam a, b, c nmeros reais com a) Mostre que a mudana transforma a equao numa equao de segundo grau. b) Determine todas as razes da equao

(ITA - 2016 - 2 FASE) Considere as circunferncias ​​​​ O tringulo ABC satisfaz as seguintes propriedades: a) o lado coincide com a corda comum a e b) o vrtice B pertence ao primeiro quadrante; c) o vrtice C pertence a e a reta que contm tangente a Determine as coordenadas do vrtice C.

(ITA - 2016 - 2 FASE) Determine o termo constante do resto da diviso do polinmio por

(ITA - 2016 - 2 FASE) Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela base do cone, e o vrtice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro.