Questões de Matemática - ITA 2018 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2018 - 1 FASE) Os lados de um tringulo de vrtices A, B e C medem AB = 3 cm, BC = 7 cm e CA = 8 cm. A circunferncia inscrita no tringulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Ento, o comprimento do segmento NK, em cm,

(ITA - 2018 - 2 FASE) Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o nmero de arestas, o nmero de faces triangulares e o nmero de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progresso aritmtica de razo -5. Determine o nmero de vrtices do poliedro.

(ITA - 2018 - 1 FASE) Se um nmero real que satisfaz , ento igual a

(ITA - 2018 - 2 FASE) Encontre o conjunto soluo da inequao exponencial:

(ITA - 2018 - 2 FASE) No plano cartesiano so dadas as circunferncias e . Determine o centro e o raio de uma circunferncia C tangente simultaneamente a C1 e C2, passando pelo ponto

(ITA - 2018 - 1 FASE) Considere as funes f, g: dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d , a 0 e c 0. Se f-1 o g-1 = g-1o f-1, ento uma relao entre as constantes a, b, c e d dada por

(ITA - 2018 - 2 FASE) Seja Pedem-se: a) Use a propriedade para expressar e em funo de b) Determine inteiros ae btais que

(ITA - 2018 - 2 FASE) Uma reta rsepara um plano em dois semiplanos e Considere pontos Ae Btais que e de modo que e .Uma circunferncia contida em passa pelos pontos Ae Be encontra rnos pontos Me N.Determine a menor distncia possvel entre os pontos Me N.

(ITA - 2018 - 1 FASE) Sejam x1, , x5e y1, , y5nmeros reais arbitrrios e A = (aij) uma matriz 5 x 5 definida por aij= xi+ yj, 1 i, j 5. Se r a caracterstica da matriz A, ento o maior valor possvel de r

(ITA - 2018 - 1 FASE) Sobre duas retas paralelaseso tomados 13 pontos,pontos emepontos em, sendo. Com os pontos so formados todos os tringulos e quadrilteros convexos possveis. Sabe - se que o quociente entre o nmeros de quadrilteros e o nmero de tringulos 15/11. Ento os valores deeso, respectivamente:

(ITA - 2018 - 2 FASE) De uma caixa que contm 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, so selecionadas ao acaso kbolas. a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condiese b) Use o item (a) para calcular a soma.

(ITA - 2018 - 1 FASE) Considere a definio: duas circunferncias so ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes so perpendiculares. Com relao s circunferncias C1: x2+ (y + 4)2= 7, C2: x2+ y2= 9 e C3 : (x 5)2 + y2= 16, podemos afirmar que

(ITA - 2018 - 2 FASE) Quantos pares de nmeros inteiros positivos existem cujo mnimo mltiplo comum ? Para efeito de contagem, considerar

(ITA - 2018 - 2 FASE) A aresta lateral de uma pirmide reta de base quadrada mede 13 cme a rea do crculo inscrito na base mede .Dois planos, e paralelos base, decompem a pirmide em trs slidos de mesmo volume. Determine a altura de cada um desses slidos.

(ITA - 2018 - 1 FASE) As razes do polinmio 1 + z + z2+ z3+ z4+ z5+ z6+ z7, quando representadas no plano complexo, formam os vrtices de um polgono convexo cuja rea