(ITA - 2022 - 2 fase)Existe um limite inferior da

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite não se desintegre por efeitos de maré. Para determinar uma expressão aproximada dessa distância, considera a Lua como a composição de dois semi-satélites esféricos idênticos, homogêneos e em contato. Os corpos descritos realizam um movimento circular ao redor da Terra, cuja massa é dada por $M_{T}$, com os três centros sempre colineares. A estabilidade da Lua é associada à tendência natural dessas duas metades manterem o contato entre si por efeitos gravitacionais. Considerando que o raio da lua $R_{L}$ é muito menor do que a distância Terra-Lua $D$ e que $M_{T}$ é muito maior que a massa da Lua $M_{L}$, faça o que se pede.

Caso necessário, use: $(1+x)^{n}\approx 1+nx$, se $|x| \ll 1$.

(a) Considerando que os semi-satélites têm a mesma densidade da Lua, determine os seus raios $r$ e massas $m$. Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado.

(b) Estime o valor mínimo de $D$ para que a Lua não se desintegre. Deise sua resposta em termos de $M_{T}$, $m$ e $r$.