Questões de Matemática - UFPR 2017 | Gabarito e resoluções

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Tripla pitagrica uma sequncia de trs nmeros inteiros positivos que satisfazem o famoso Teorema de Pitgoras. Em outras palavras, se a sequncia (a,b,c) uma tripla pitagrica, ento o tringulo de lados a,b e 𝒄 um tringulo retngulo. Por exemplo, (3,4,5)e (5,12,13) so triplas pitagricas. a) Verifique se a sequncia (20, 21, 29) uma tripla pitagrica. Justifique sua resposta. b) Justifique por que a sequncia de nmeros inteiros (n, n+3, n+5) no constitui uma tripla pitagrica para nenhum 𝑛 inteiro positivo.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Um dos maiores silos do mundo para armazenamento de gros est localizado na cidade de Primavera do Leste, no Mato Grosso. Suponha que esse silo constitudo por um cilindro circular reto com 24 m de raio e 22 m de altura, no qual est acoplado um cone circular reto com altura de 8 m, conforme indicado na figura ao lado. a) Calcule o permetro, em metros, da base do cilindro. Use = 3,1. b) Calcule o volume, em metros cbicos, desse silo. Use = 3,1.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Uma empresa de telefonia oferece trs planos mensais de internet mvel, descritos abaixo. - Plano Ilimitado: mensalidade fixa de R$ 100,00 que permite ao cliente utilizar quantos gigabytes (GB) de dados desejar, sem pagar nada a mais. - Plano Intermedirio: mensalidade fixa de R$ 28,00 mais R$ 4,50 por GB de dados consumidos. - Plano Simples: no h mensalidade, porm o cliente paga R$ 12,00 por GB de dados consumidos. Por exemplo, um consumo de 5 GB de dados em um ms custa R$ 100,00 para clientes do Plano Ilimitado, custa R$28,000+5 xR$4,50 = R$50,50para clientes do Plano Intermedirio e custa 5 x R$12,00 = R$60,00para clientes do Plano Simples. a) A partir de quantos GB de dados consumidos por ms o Plano Ilimitado fica mais vantajoso, ou seja, mais barato, que o Plano Intermedirio? b) A empresa pretende criar um novo plano de dados, chamado Plano Bsico. Esse plano ter formato semelhante ao do Plano Intermedirio, consistindo tambm de uma mensalidade fixa mais um preo por GB de dados consumidos. Alm disso, o Plano Bsico dever satisfazer a duas condies: - Ter o mesmo valor que o Plano Simples para clientes que consumirem 3 GB de dados por ms. - Ter o mesmo valor que o Plano Intermedirio para clientes que consumirem 8 GB de dados por ms. Quais devem ser o valor da mensalidade e o valor de cada GB de dados consumidos para que o Plano Bsico cumpra as duas condies acima?

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Faa o que se pede. a) Calcule log16(1/8). Fornea sua resposta com duas casas decimais. b) Resolva a inequao log1/2 (2x + 3) 1. Expresse sua resposta na forma de intervalo.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Considere os conjuntos de pares ordenados e . Diremos que a reta r separa os pontos dos conjuntos C e Q quando nenhum elemento de C est direita da reta r e nenhum elemento de Q est esquerda da reta r. Na figura abaixo, podemos ver que a reta de equao y = 3x-2 separa os pontos de C e Q. Por outro lado, a reta de equao y = -x+4 no separa os pontos de C e Q, pois o par ordenado (1,5) pertence ao conjunto C e est direita dessa reta. a) A reta de equao y=2x+1 separa os pontos dos conjuntos C e Q? Justifique sua resposta. b) Para quais valores de a reta de equao y = ax-3 separa os pontos dos conjuntos C e Q?

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Leonardo fez uma pesquisa sobre o preo da jarra de suco de laranja em algumas lanchonetes da regio e obteve os seguintes valores: a) Calcule a mdia e a mediana dos preos apresentados na tabela. b) Leonardo decidiu acrescentar duas lanchonetes em sua pesquisa. Ao considerar todos os 10 estabelecimentos, a mdia de preos passou a ser de R$ 8,45. Sabendo que essas duas novas lanchonetes cobram o mesmo preo pela jarra de suco, calcule esse valor.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) a) Faa o que se pede. a) Seja . Sabendo que , calcule cos 𝛼 e o determinante da matriz b) Encontre todos os valores depara os quais a matriz tem determinante det(B) = 1.

(UFPR - 2017- 1 FASE) Em julho deste ano, os brasileiros foram surpreendidos com uma alterao da alquota do PIS e Cofins que resultou em um aumento de R$ 0,41 por litro de gasolina, elevando seu preo mdio para R$ 3,51. De quanto foi o aumento percentual aproximado do preo mdio da gasolina causado por essa alterao de alquota?

(UFPR - 2017- 1 FASE) O preo de uma garrafa de gua em um determinado supermercado R$ 1,60. Alm disso, a cada conjunto de 5 garrafas compradas, o cliente ganha uma extra, ou seja, leva 6 garrafas pelo preo de 5. De acordo com essas informaes, qual o maior nmero de garrafas que um cliente pode levar gastando no mximo R$ 30,00?

(UFPR - 2017- 1 FASE) A figura ao lado representa o quadriltero do plano cartesiano delimitado pelo eixo das abscissas e pelo grfico das seguintes funes: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒, 𝐬𝐞 𝟐 𝐱 𝟏; 𝒈(𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟓𝟐), 𝐬𝐞 𝟏 𝐱 𝟏𝟎; 𝒉(𝒙) = 𝟐(𝟏𝟒 𝒙), 𝐬𝐞 𝟏𝟎 𝐱 𝟏𝟒. Qual a rea desse quadriltero?

(UFPR - 2017- 1 FASE) Em uma determinada manh, um mdico atendeu 6 pacientes. A durao do atendimento referente a cada paciente apresentada na tabela ao lado. Com base nas informaes fornecidas, conclui-se que o tempo total de atendimento prestado pelo mdico naquela manh foi de:

(UFPR - 2017- 1 FASE) Considere as seguintes afirmativas a respeito da sequncia de nmeros ,com 𝒊 = e 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, : O quinto elemento dessa sequncia pode ser escrito na forma 𝒙𝒏 um nmero imaginrio puro, qualquer que seja 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, |𝒙𝒏| se aproxima de zero conforme 𝒏 cresce. Assinale a alternativa correta.

(UFPR - 2017- 1 FASE) A figura ao lado apresenta um molde para construo de uma pirmide hexagonal regular. Para montar essa pirmide, basta recortar o molde seguindo as linhas contnuas, dobrar corretamente nas linhas tracejadas e montar a pirmide usando as abas trapezoidais para fixar sua estrutura com um pouco de cola. Sabendo que cada um dos tringulos tracejados nesse molde issceles, com lados medindo 5 cm e 13 cm, qual das alternativas abaixo mais se aproxima do volume dessa pirmide?

(UFPR - 2017- 1 FASE) Considere o conjunto S de todas as sequncias de 5 letras formadas com as vogais A, E, I, O e U que satisfazemsimultaneamente s duas regras abaixo: I. O nmero de letras A igual ao nmero de letras E. II. O nmero de letras O igual ao nmero de letras U. Por exemplo, as sequncias UOIOU, AEIOU e IAEII satisfazem as duas regras acima, enquanto AAEEE no satisfaz a primeira regra e IOIIO no satisfaz a segunda. Quantos elementos distintos possui o conjunto S?

(UFPR - 2017- 1 FASE) Sobre as funes reais e , identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) O domnio da funo 𝒇 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = {𝒙 ℝ; 𝒙 𝟎}. ( ) (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏. ( ) A imagem de 𝒇 coincide com a imagem de 𝒈, ou seja, 𝑰𝒎(𝒇) = 𝑰𝒎(𝒈). ( ) Os grficos dessas funes se cruzam apenas uma vez. Assinale a alternativa que apresenta a sequncia correta, de cima para baixo.