Questões de Matemática - IME 2009 | Gabarito e resoluções

(IME - 2009/2010)Seja a equao , onde n e q so nmeros inteiros positivos e p um nmero primo. Determine os possveis valores de n, p e q.

(IME - 2009/2010) Seja o sistemaonde.Determine as condies que a ,b e c devem satisfazer para que o sistema admita pelo menos uma soluo.

(IME - 2009/2010) Considere a sequncia Determine o produto dos 20 primeiros termos dessa sequncia.

(IME - 2009/2010)Uma hiprbole de excentricidade tem centro na origem e passa pelo ponto . A equao de uma reta tangente a esta hiprbole e paralela a y = 2x :

(IME - 2009/2010) Sejam as funes f: , g: , h: . A alternativa que apresenta a condio necessria para que se f(g(x)) = f(h(x)), ento g(x)=h(x) :

(IME - 2009/2010)Considere o sistema abaixo, onde e Z pertencem ao conjunto dos nmeros complexos. O argumento de Z, em graus, para que x3seja um nmero real positivo : Obs:

(IME - 2009/2010) Seja. Sendo n um nmero inteiro positivo, a desigualdadesomente possvel se:

(IME - 2009/2010) Sejam ABC um tringulo equiltero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do seu baricentro. Calcule a rea da superfcie gerada pela rotao deste tringulo em torno da reta r.

(IME - 2009/2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F. A reta r tangente elipse no ponto M e s uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF interceptam a reta s em H e H, respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o comprimento FH :

(IME - 2009/2010) Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor?