Questões de Matemática - IME 2021 | Gabarito e resoluções

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Seis irmos conversavam quando um deles, Matias, enunciou: a soma das idades de todos ns cinco vezes a minha idade atual e sou seis anos mais novo que Sfocles. Quando Sfocles tiver trs vezes a minha idade atual, constataremos que: a soma da minha idade com a de Dmocles ser igual soma da idade atual dos irmos de Csar; a idade de Eraststenes ser trs vezes a idade dele atual; e a idade doLutero ser duas vezes a idade atual do Sfocles, mais um ano. Diante do exposto, qual a soma das idades atuais de Sfocles e Matias?

(IME - 2021/2022) QUESTO ANULADA! Seja o sistema O valor de:

(IME - 2021/2022) Sejao conjunto de todos os valores depara os quais a soma dos termos da progresso assume um valor finito. Define-se a funo, para cada, tal que A soma das razes da equao, :

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Suponha que a e b so raizes reais e diferentes da equao. O intervalo [a,b] o domnio da funo SejaDetermine g(0)

(IME - 2021/2022) Em um tringulo de vrtices A (0, 0), B (2, 4) e C (6, 0), torna-se um ponto varivel M sobre o lado AB. Desse ponto, traa-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q. Identifique o lugar geomtrico descrito pelo ponto de interseo das retas BQ e CM e escreva a sua equao.

(IME - 2021/2022) Considere o conjunto de todas as retas que so secantes ao grfico da funo e que passam pelo ponto O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto :

(IME - 2021/2022) Quantos pares ordenados (x, y) de nmeros inteiros satisfazem a equao 1/x + 1/y = 1/23?

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q mdio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M, respectivamente, e tambm nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N, respectivamente. O plano M M N N divide o tretaedro em dois volumes com razo de 1 para 4. Determine QP em funo de a.

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Considere o sistema a seguir Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema inderteminado. Para esse valor de k, encontre a soluo x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de

(IME - 2021/2022) Sejae , , nmeros complexos tais quee. Omenor valor de,:

(IME - 2021/2022) Seja o nmero complexo. Sabe-se que. O valor dena expresso:

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Determine o subconjunto deque corresponde soluo da equao:

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos nmeros a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i a unidade imaginria tal que i2= -1. O ponto a a rotao de 30 do ponto b em torno da origem no sentido anti-horrio. Determine o valor do produto xy.

(IME - 2021/2022) Seja a equao do terceiro grau em: ondeso nmeros primos menores que 100. Para que a razo entra a soma e o produto das razes da equao seja a maior possvel, o valor dedeve ser:

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em trs grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma h um casal, qual a probabilidade de que o mesmo faa o trabalho junto?