Questões de Matemática - ITA 2003 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere o polinmio P(x) = 2x + a2x2 + ... + anxn, cujos coeficientes 2, a2, ..., an formam, nesta ordem, uma progresso geomtrica de razo q 0. Sabendo que -1/2 uma raiz de P e que P(2) = 5460, tem-se que o valor de (n2-q3)/q4 igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Dividindo-se o polinmio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x - 1), obtm-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtm-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) divisvel por (x - 2), tem-se que o valor de (ab)/c igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Das afirmaes abaixo sobre a equao e suas solues no plano complexo: I. A equao possui pelo menos um par de razes reais. II. A equao possui duas razes de mdulo 1, uma raiz de mdulo menor que 1 e uma raiz de mdulo maior que 1. III. Se e r uma raiz qualquer desta equao, ento . (so) verdadeira(s) :

(ITA - 2003 - 1a fase) Seja tal que a equao possua uma raiz dupla e inteira x1 e uma raiz x2, distinta de x1. Ento, (k + x1)x2 igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere o conjunto S = {(a, b) N x N: a + b = 18}. A soma de todos os nmeros da forma, (18!)/(a!b!), (a,b) S, :

(ITA - 2003) O nmero de divisores de 17640 que, por sua vez, so divisveis por 3 :

(ITA - 2003 - 1a fase) Sejam A e P matrizes n x n inversveis e B = P-1 AP. Das afirmaes: I. Bt inversvel e (Bt)-1 = (B-1)t. II. Se A simtrica, ento B tambm o . III. det(A - I) = det(B - I), IR. (so) verdadeira(s):

(ITA - 2003 - 1a fase) O nmero de todos os valores de, distintos, para os quais o sistema nas incgnitas x, y e z, dado por possvel e no-homogneo, igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Para todo,a expresso igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere a famlia de circunferncias com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferncias corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Ento, o lugar geomtrico dos centros destas circunferncias parte:

(ITA - 2003 - 1a fase) A rea do polgono, situado no primeiro quadrante, que delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na regio interior a estas retas, distando 4 cm de r. A rea do tringulo equiltero PQR, cujos vrtices Q e R esto, respectivamente, sobre as retas r e s, igual, em , a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere trs polgonos regulares tais que os nmeros que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progresso aritmtica. Sabe-se que o produto destes trs nmeros igual a 585 e que a soma de todos os ngulos internos dos trs polgonos igual a 3780. O nmero total das diagonais nestes trs polgonos igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere o tringulo issceles OAB, com lados OA e OB de comprimento R e lado AB de comprimento 2R. O volume do slido, obtido pela rotao deste tringulo em torno da reta que passa por O e paralela ao lado AB, igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere uma pirmide regular de altura igual a 5 cm e cuja base formada por um quadrado de rea igual a 8 . A distncia de cada face desta pirmide ao centro de sua base, em cm, igual a: