Questões de Matemática - ITA 2003 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere os contradomnios das funes arco-seno e arco-cosseno como sendoe respectivamente.Com respeito funo, f(x) = arcsen x + arccos x, temos que:

(ITA - 2003 - 2 FASE)Sejam U um conjunto no-vazio e , . Usando apenas as definies de igualdade, reunio, interseco e complementar, prove que: I. Se= , ento. II. B \ AC = .

(ITA - 2003- 2 FASE) Determine o conjunto dos nmeros complexos z para os quais o nmeros w pertence ao conjunto dos reais. Interprete o conjunto geometricamente. .

(ITA - 2003 - 2 FASE)Considere a seguinte situao baseada num dos paradoxos de Zeno de Elia, filsofo grego do sculo V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes vA e vT, com 0 vT vA. Como a tartaruga mais lenta, -lhe dada uma vantagem inicial, de modo a comear a corrida no instante t= 0 a uma distncia d1 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos t1, t2, t3,... que Aquiles precisa para percorrer as distncias d1, d2, d3,..., respectivamente, sendo que, para todo n 2, dn denota a distncia entre a tartaruga e Aquiles no instante da corrida. Verifique que os termos tk , k = 1, 2, 3,..., formam uma progresso geomtrica infinita, determine sua soma e d o significado desta soma.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Mostre que toda funo f : \ {0} , satisfazendo f (xy) = f(x) + f (y) em todo seu domnio, par.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Sejam , , e constantes reais. Sabendo que a diviso de por exata, e que a diviso de por tem resto igual a 5, determine o valor de .

(ITA - 2003 - 2 FASE) Sejam a, b, c e d nmeros reais no-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz na forma de um produto de nmeros reais.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Encontre todos os valores de], [ para os quais a equao na varivel real x, arctg ( 1+ ) + arctg ( 1 ) = a, admite soluo.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Sabe-se que uma elipse de equao tangencia internamente a circunferncia de equao x2 + y2 = 5 e que a reta de equao 3x + 2y = 6 tangente elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto mdio do segmentoe F um ponto sobre o segmento tal que m () + m ( ) = m ( ). Prove que cos = cos 2, sendo os ngulos = BF e = ED.

(ITA - 2003 - 2 FASE) Quatro esferas de mesmo raio R 0so tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprimento 2R . Determine, em funo de R, a expresso do volume do tetraedro circunscrito s quatro esferas.

(ITA - 2003 - 1a fase) Seja z C. Das seguintes afirmaes independentes: I. Se , ento II. Se z 0 e, ento . III. Se , ento um argumento de w. (so) verdadeira(s):

(ITA - 2003) O valor de y2 - xz para o qual os nmeros ,x, y, z e sen 75, nesta ordem, formam uma progresso aritmtica, :

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere a funo: A soma de todos os valores de x para os quais a equao tem raiz dupla :

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere uma funo f : no-constante e tal que f(x + y) = f(x) f(y), x,y . Das afirmaes: I. f(x) 0, x . II. f(nx) = [f(x)]n, x , n *. III. f par. (so) verdadeira(s):