Questões de Matemática - UNICAMP 2022 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) As clulas contm vrias estruturas que sintetizam molculas utilizadas em locais distantes de onde elas foram formadas. Por exemplo, a molcula de adenosina trifosfato (ATP) sintetizada num local especfico da clula e usada em diferentes locais. O mecanismo de transporte molecular mais bsico no mundo celular a difuso, que resulta das colises da molcula sintetizada com as molculas que compem o meio. No movimento de difuso, o deslocamento mdio, L, da molcula sintetizada est relacionado com o tempo, t, da seguinte forma: onde D a constante de difuso da molcula sintetizada num determinado meio a)A relao entre o tempo e o deslocamento quadrtico mdio, , apresentada, para uma molcula de ATP, no grfico acima. Estime a constante de difuso da molcula. b)A membrana plasmtica, composta por uma bicamada de fosfolipdios, representa uma barreira difuso, em especial quando tratamos molculas para as quais a membrana apresenta baixa permeabilidade. Como voc explica a difuso dessas molculas para o interior das clulas? O que necessrio para o movimento de molculas contra um gradiente de concentrao?

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Um fabricante de produtos de beleza est modificando as dimenses da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado 100𝜋olho. Atualmente, as embalagens tm o formato de um paraleleppedo com 18 cm de altura e com base retangular de dimenses 2 cm 3 cm. So utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ 40,00 o metro quadrado, por ser mais resistente. a)Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens? b)Por questes logsticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paraleleppedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumtrica que as embalagens atuais. Quais as dimenses da nova embalagem e o custo de produo de 100 delas, considerando os mesmos materiais para produo?

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Mrcia est fazendo um teste de condicionamento fsico e corre numa pista circular de 200 m de comprimento, com velocidade angular constante, e no sentido anti-horrio. A distncia, em metros, entre Mrcia e um equipamento eletrnico localizado na parte externa da pista foi registrada nos primeiros 60 segundos e est representada na Figura 1 abaixo. a) Determine quanto tempo Mrcia demora para completar uma volta e quantos metros ela percorreu nos primeiros 60 segundos. b) A Figura 2 representa um determinado instante em que a distncia entre Mrcia e o centro da pista (ponto C) igual distncia entre ela e o equipamento eletrnico. Calcule o cosseno do ngulo 𝛼 indicado na Figura 2.

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Helosa est brincando com uma urna que contm dez bolinhas, sendo trs azuis, trs verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequncia numrica , de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequncia . A cada sorteio, um novo termo da sequncia determinado multiplicando-se o termo anterior: por 2, se a bolinha sorteada for azul; por 3, se a bolinha sorteada for verde; por 5, se a bolinha sorteada for rosa. A bolinha sorteada devolvida para a urna antes do prximo sorteio. Por exemplo, se nos trs primeiros sorteios Helosa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, ento a sequncia obtida a) possvel que Helosa obtenha uma sequncia contendo o termo 189? Justifique. b) Qual a probabilidade de Helosa obter o nmero 360 como termo de uma sequncia?

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Por volta de 1845, o matemtico belga Pierre Verhulst comeou a estudar um tipo de funo que hoje conhecida como funo logstica. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicaes em ecologia, biomatemtica, sociologia e cincias polticas. Uma funo logstica pode ser definida por em que e a) Seja a funo inversa de 𝑓. Determine a expresso e o domnio de . b) O grfico abaixo de uma funo logstica com 𝐿 = 10. Determine os valores de e 𝑘.

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Seja 𝑎 um nmero real e considere o polinmio , que tem como uma de suas razes. a) Determine todos os valores de 𝑎 tais que a nica raiz real. b) Determine todos os valores de 𝑎 tais que as solues de sejam nmeros inteiros.

(UNICAMP - 2022 - 2 fase) Seja 𝐾 a regio poligonal, no plano cartesiano, dos pontos que satisfazem as inequaes A rea hachurada da figura abaixo representa a regio 𝐾 no plano cartesiano. a) Determine as coordenadas do vrtice 𝑉, indicado na Figura 1, e a rea da regio 𝐾. b) Determine o maior valor de para .

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R)Certo pas adquiriu 5.000.000 de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preo de $40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta e Gama custou $5,00, $10,00 e $20,00, respectivamente. Sabendo que o nmero de doses adquiridas da vacina Beta o triplo do nmero de doses adquiridas da vacina Gama, o nmero de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R) Certo modelo de carro vendido em duas verses: uma a gasolina e outra hbrida. Essa ltima verso conta com um motor eltrico para funcionar em baixas velocidades, reduzindo, assim, o consumo de combustvel e tambm os ndices de poluio. A verso a gasolina custa R$ 150.000,00 e a verso hbrida custa R$ 180.000,00. A tabela a seguir indica o consumo de combustvel de cada uma das verses: Note que a verso hbrida mais econmica, porm custa mais caro. Um motorista faz diariamente um percurso de 36 km na cidade e de 56 km na estrada. Considerando que cada litro de gasolina custa R$ 5,00 e que, ao longo do tempo, esse preo ser constante e o percurso no se alterar, quantos anos de uso sero necessrios para que a economia no abastecimento compense o preo mais alto pago inicialmente pelo carro hbrido?

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R)As figuras abaixo ilustram, respectivamente, os grficos das funes y= f(x) e y= g(x). Entof(g(1))g(f(1))vale:

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R)Dados os nmeros reais positivos a1, a2, ..., an, a mdia geomtrica Mdestes termos calculada por: . A mdia geomtrica de 1, 10, 100, , 1022 :

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R) Leia o texto para responder questo Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina ser aplicada a uma populao. Sabe-se que: a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivduos vacinados que estaro imunes doena; e para controlar a epidemia, a porcentagem mnima de uma dada populao a ser imunizada dada pela frmula I(R0) = 100(R0- 1)/R0, em que R0 1 um valor associado s caractersticas da epidemia. Assume-se, ainda, que uma eventual imunizao somente adquirida por meio da vacina. Em relao epidemia e vacinao, correto afirmar que

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R) Leia o texto abaixo e responda o que solicitado sobre o mesmo. Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina ser aplicada a uma populao. Sabe-se que: a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivduos vacinados que estaro imunes doena; e para controlar a epidemia, a porcentagem mnima de uma dada populao a ser imunizada dada pela frmula I(R0) = 100(R0- 1)/R0, em que R01 um valor associado s caractersticas da epidemia. Assume-se, ainda, que uma eventual imunizao somente adquirida por meio da vacina. Assuma que R0= 2. Sabendo que uma dada vacina tem 80% de efetividade, em qual dos intervalos se encontra a porcentagem mnima da populao que deve ser vacinada para controlar a epidemia?

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R)Um crculo est inscrito em um quadriltero ABCD. Seja To ponto de tangncia do lado DAcom o crculo. Sabe-se que as medidas dos lados AB, BCe CDformam, nesta ordem, uma progresso aritmtica crescente de nmeros inteiros e que a medida do lado DA 3. Considerando que a medida do segmento TA um nmero inteiro, as medidas dos lados AB, BCe CDso, respectivamente:

(UNICAMP - 2022 - 1 fase - Caderno R)Considere a matriz e seja B= A+ AT, onde AT a transposta da matriz A. Sobre o sistema correto afirmar que: