(IME - 2022/2023 - 2 fase)Sejam os nmeros complexo

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Sejam os números complexos \(z_{1}, z_{2}, . . . , z_{n}\) tais que suas partes reais e imaginárias formam, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números reais e de mesma razão. Sabe-se que \(z_{1} = 2 + 5i\) e \(z_{4} = m(i^{4m} + 5i^{4m+1})\) onde \(m \in \mathbb{Z}\) + e \(i^{2} = -1\). Considere \(S_{n} = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{n} z_{k}\) e \(A_{n} = \frac{2}{5} \sum_{k=1}^{n} k\). Calcule o valor de \(P =\frac{S_{n}-A_{n}}{i}\) em função de \(n\).