Questões de Matemática - ITA 2002 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2002 - 1a Fase) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B r e C s so dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento perpendicular a r e a rea do tringulo OBC igual a 1210-1, ento a distncia de B ao eixo das ordenadas vale

(ITA - 2002 - 1a Fase) Considere a regio do plano cartesiano xy definida pela desigualdade . Quando esta regio rodar um ngulo de radianos em torno da reta , ela ir gerar um slido de superfcie externa total com rea igual a

(ITA - 2002 - 1a Fase) Seja uma pirmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distncia do vrtice devemos cort-la por um plano paralelo base de forma que o volume da pirmide obtida seja 1/8 do volume da pirmide original?

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 21)Seja a funo f dada por . Determine todos os valores de x que tornam f no negativa.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 22) Mostre que, para quaisquerxeyreais positivos. Obs.: Cn, pdenota a combinao denelementos tomadospap.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 23) Com base no grfico da funo polinomialy = f(x)esboado abaixo, responda qual o resto da diviso def(x)por.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 24)Sejam e dois nmeros complexos no-nulos, tais que . Se satisfazem determine o valor dede forma que.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 25) 1. Mostre que se uma matriz quadrada no-nulaAsatifaz a equao A3+ 3A2+ 2A = 0 (1) ento (A + I)3= A + I, em que I a matriz identidade. 2. Sendo dado quesatisfaz equao (1) acima, encontre duas matrizes no-nulas B e C tais que B3+ C3= B + C = A. Para essas matrizes voc garante que o sistema de equaestem soluo (x, y)(0, 0)? Justifique.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo26) Sejamnmeros reais positivos a1, a2, ... anque formam uma progresso aritmtica de razo positiva. Considere An= a1+ a2+ ... + ane responda, justificando: Para todo, qual o maior entre os nmerose?

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 27)Considere n pontos distintos A1, A2, ... Ansobre uma circunferncia de raio unitrio, de forma que os comprimentos dos arcos ,formam uma progresso geomtrica de termo inicial e razo . Para que valores de n N teremos o comprimento do arco menor quedo comprimento da circunferncia? Obs.: Para todo arco , o comprimento considerado o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al . no sentido anti-horrio.

(ITA - 2002 - 2 fase -Questo 28) Seja S a rea total da superfcie de um cone circular reto de altura h, e seja m a razo entre as reas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expresso que fornea h em funo apenas de S e m.

(ITA - 2002 - 2 fase -Questo 29) Considere o seguinte raciocnio de cunho cartesiano: se a circunferncia de centro C = (h, 0) e raio r intercepta a curva, no pontode forma que o segmentoseja perpendicular reta tangente curva em A, ento x = a raiz dupla da equao em x que se obtm da interseco da curva com a circunferncia. Use esse raciocnio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em A .

(ITA - 2002 - 2 fase -Questo 30) Se x, y e z so ngulos internos de um tringulo ABC e, prove que o tringulo ABC retngulo.