Questões de Matemática - UFPR | Gabarito e resoluções

(UFPR - 2018 - 1 FASE) Em uma reunio de condomnio, os moradores resolveram fazer um sorteio para decidir a ordem em que suas casas sero pintadas. As 8 casas desse condomnio esto dispostas conforme o esquema ao lado. Dizemos que duas casas so vizinhas quando esto dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa 3 vizinha das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 vizinha apenas das casas 6 e 7. Qual a probabilidade das duas primeiras casas sorteadas serem vizinhas?

(UFPR - 2018 - 1 FASE) Alexandre pegou dois emprstimos com seus familiares, totalizando R$ 20.000,00. Ele combinou pagar juros simples de 8% ao ano em um dos emprstimos e de 5% ao ano no outro. Aps um ano nada foi pago, e por isso sua dvida aumentou de R$ 20.000,00 para R$ 21.405,00. Quanto foi tomado emprestado de cada familiar?

(UFPR - 2018 - 1 FASE) Considere a seguinte sequncia de funes polinomiais do segundo grau: ,,, ...,,... Denotando por a soma das razes de , a soma das razes de e assim por diante, pode-se concluir que a soma infinita igual a:

(UFPR - 2018 - 1 FASE) Um tanque contm uma soluo de gua e sal cuja concentrao est diminuindo devido adio de mais gua. Suponha que a concentrao 𝑸(𝒕) de sal no tanque, em gramas por litro (g/l), decorridas t horas aps o incio da diluio, seja dada por Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessrio para que a concentrao de sal diminua para 50 g/l. (Use)

(UFPR - 2018 - 1 FASE) Em quantos pontos do plano cartesiano a circunferncia de equao (𝒙 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟗 e a parbola de equao 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 𝟔 se intersectam?

(UFPR - 2018 - 1 FASE) Sejam 𝒙, 𝒚 (𝟎, 𝝅/𝟐), tais que 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟒/𝟓 e 𝒔𝒆𝒏(𝒚) = 𝟓/𝟏𝟑. Podemos concluir que 𝒕𝒈(𝒙 + 𝒚) igual a:

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Tripla pitagrica uma sequncia de trs nmeros inteiros positivos que satisfazem o famoso Teorema de Pitgoras. Em outras palavras, se a sequncia (a,b,c) uma tripla pitagrica, ento o tringulo de lados a,b e 𝒄 um tringulo retngulo. Por exemplo, (3,4,5)e (5,12,13) so triplas pitagricas. a) Verifique se a sequncia (20, 21, 29) uma tripla pitagrica. Justifique sua resposta. b) Justifique por que a sequncia de nmeros inteiros (n, n+3, n+5) no constitui uma tripla pitagrica para nenhum 𝑛 inteiro positivo.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Um dos maiores silos do mundo para armazenamento de gros est localizado na cidade de Primavera do Leste, no Mato Grosso. Suponha que esse silo constitudo por um cilindro circular reto com 24 m de raio e 22 m de altura, no qual est acoplado um cone circular reto com altura de 8 m, conforme indicado na figura ao lado. a) Calcule o permetro, em metros, da base do cilindro. Use = 3,1. b) Calcule o volume, em metros cbicos, desse silo. Use = 3,1.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Uma empresa de telefonia oferece trs planos mensais de internet mvel, descritos abaixo. - Plano Ilimitado: mensalidade fixa de R$ 100,00 que permite ao cliente utilizar quantos gigabytes (GB) de dados desejar, sem pagar nada a mais. - Plano Intermedirio: mensalidade fixa de R$ 28,00 mais R$ 4,50 por GB de dados consumidos. - Plano Simples: no h mensalidade, porm o cliente paga R$ 12,00 por GB de dados consumidos. Por exemplo, um consumo de 5 GB de dados em um ms custa R$ 100,00 para clientes do Plano Ilimitado, custa R$28,000+5 xR$4,50 = R$50,50para clientes do Plano Intermedirio e custa 5 x R$12,00 = R$60,00para clientes do Plano Simples. a) A partir de quantos GB de dados consumidos por ms o Plano Ilimitado fica mais vantajoso, ou seja, mais barato, que o Plano Intermedirio? b) A empresa pretende criar um novo plano de dados, chamado Plano Bsico. Esse plano ter formato semelhante ao do Plano Intermedirio, consistindo tambm de uma mensalidade fixa mais um preo por GB de dados consumidos. Alm disso, o Plano Bsico dever satisfazer a duas condies: - Ter o mesmo valor que o Plano Simples para clientes que consumirem 3 GB de dados por ms. - Ter o mesmo valor que o Plano Intermedirio para clientes que consumirem 8 GB de dados por ms. Quais devem ser o valor da mensalidade e o valor de cada GB de dados consumidos para que o Plano Bsico cumpra as duas condies acima?

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Faa o que se pede. a) Calcule log16(1/8). Fornea sua resposta com duas casas decimais. b) Resolva a inequao log1/2 (2x + 3) 1. Expresse sua resposta na forma de intervalo.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Considere os conjuntos de pares ordenados e . Diremos que a reta r separa os pontos dos conjuntos C e Q quando nenhum elemento de C est direita da reta r e nenhum elemento de Q est esquerda da reta r. Na figura abaixo, podemos ver que a reta de equao y = 3x-2 separa os pontos de C e Q. Por outro lado, a reta de equao y = -x+4 no separa os pontos de C e Q, pois o par ordenado (1,5) pertence ao conjunto C e est direita dessa reta. a) A reta de equao y=2x+1 separa os pontos dos conjuntos C e Q? Justifique sua resposta. b) Para quais valores de a reta de equao y = ax-3 separa os pontos dos conjuntos C e Q?

(UFPR - 2017 - 2 FASE) Leonardo fez uma pesquisa sobre o preo da jarra de suco de laranja em algumas lanchonetes da regio e obteve os seguintes valores: a) Calcule a mdia e a mediana dos preos apresentados na tabela. b) Leonardo decidiu acrescentar duas lanchonetes em sua pesquisa. Ao considerar todos os 10 estabelecimentos, a mdia de preos passou a ser de R$ 8,45. Sabendo que essas duas novas lanchonetes cobram o mesmo preo pela jarra de suco, calcule esse valor.

(UFPR - 2017 - 2 FASE) a) Faa o que se pede. a) Seja . Sabendo que , calcule cos 𝛼 e o determinante da matriz b) Encontre todos os valores depara os quais a matriz tem determinante det(B) = 1.

(UFPR - 2017- 1 FASE) Em julho deste ano, os brasileiros foram surpreendidos com uma alterao da alquota do PIS e Cofins que resultou em um aumento de R$ 0,41 por litro de gasolina, elevando seu preo mdio para R$ 3,51. De quanto foi o aumento percentual aproximado do preo mdio da gasolina causado por essa alterao de alquota?

(UFPR - 2017- 1 FASE) O preo de uma garrafa de gua em um determinado supermercado R$ 1,60. Alm disso, a cada conjunto de 5 garrafas compradas, o cliente ganha uma extra, ou seja, leva 6 garrafas pelo preo de 5. De acordo com essas informaes, qual o maior nmero de garrafas que um cliente pode levar gastando no mximo R$ 30,00?