(IME - 2019/2020 - 2 FASE)Um tubo rgido aberto nas

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE) 

Um tubo rígido aberto nas extremidades, com seção reta de área constante, é preenchido com um fluido de massa específica \(\mu _1\) até alcançar a altura \(h_1\). O tubo é lacrado em uma das extremidades, conforme ilustra a Figura 1, imediatamente acima de uma válvula, que se encontra fechada, de modo que a coluna de ar também tenha altura \(h_1\) e esteja com a mesma pressão atmosférica externa. A haste da válvula mantém presa uma esfera que se ajusta bem ao duto de saída, com seção reta \(S_d\) circular. Um segundo fluido, de massa específica \(\mu _2<\mu _1\), é lentamente colocado na extremidade aberta até formar uma coluna de altura \(h_2\), conforme mostra a Figura 2. Em determinado instante, a válvula é subitamente aberta, liberando a esfera, que é impulsionada pelo ar comprimido por um breve intervalo de tempo \(\Delta t\), até atingir o ponto P. A esfera percorre o trajeto dentro do duto até alcançar uma mola, de constante elástica \(k\), que se deforma \(\Delta x\). Com relação à situação apresentada, determine:

a) a pressão da coluna confinada de ar, em N/m2 , supondo a temperatura constante, após a inserção do segundo fluido e antes da abertura da válvula.

b) a força de atrito média a partir do ponto P, em N, que age na esfera em sua trajetória até alcançar a mola.

Observações:

• considere constante a pressão que impulsiona a esfera durante seu movimento até o ponto P;
• após o ponto P, o interior do duto encontra-se à pressão atmosférica;
• não há força de atrito durante a compressão da mola;
• não há atrito no movimento da esfera entre a válvula e o ponto P.

Dados:

• aceleração da gravidade: \(g\) = 10 m/s²;
• alturas: \(h_1\) = 1 m; \(h_2\) = 1,75 m; e \(h_3\) = 4 m;
• ângulo \(\alpha\) = 30º;
• área da seção reta do duto: \(S_d\) = 1 cm² ;
• constante elástica da mola: \(k\) = 2.000 N/m;
• deformação máxima da mola: = 2,5 cm;
• distância \(d_1\) = 1 m;
• intervalo de tempo que a esfera é impulsionada: \(\Delta t\) = 0,1 s;
• massa da esfera: \(m\) = 50 g;
• massas específicas: \(\mu _1\) = 2.500 kg/m³ ; e \(\mu _2\) = 2.000 kg/m³;
• pressão atmosférica local: \(P_a\) = \(10^5\) N/m2.