Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2007)Seja dada a reta x 3y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ngulo de 45 com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equaes das retas mencionadas no item (a)

(UNICAMP - 2007)Seja ABCDA1B1C1D1um cubo com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto mdio de BC e O o centro da face CDD1C1, conforme mostrado na figura abaixo a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC1e DD1em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL. b) Calcule o volume do slido com vrtices A, D, L, K, C e M.

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Um carro ir participar de uma corrida em que ter que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 km de extenso. Como o carro tem um rendimento mdio de 1,6 km/l e seu tanque s comporta 60 litros, o piloto ter que parar para reabastecer durante a corrida. a) Supondo que o carro iniciar a corrida com o tanque cheio, quantas voltas completas ele poder percorrer antes de parar para o primeiro reabastecimento? b) Qual o volume total de combustvel que ser gasto por esse carro na corrida?

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Uma empresa tem 5000 funcionrios. Desses, 48% tm mais de 30 anos, 36% so especializados e 1400 tm mais de 30 anos e so especializados. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos funcionrios tm at 30 anos e no so especializados? b) Escolhendo um funcionrio ao acaso, qual a probabilidade de ele ter at 30 anos e ser especializado?

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Um cidado precavido foi fazer uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O cidado s pretende carregar notas de R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65 mm de largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a 0,75 g/cm3. a) Qual a mxima quantia, em reais, que o cidado poder colocar na mala? b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual ser o peso da mala cheia de dinheiro?

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Seja S o conjunto dos nmeros naturais cuja representao decimal formada apenas pelos algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. a) Seja x = um nmero de dez algarismos pertencente a S, cujos dois ltimos algarismos tm igual probabilidade de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divisvel por 15? b) Quantos nmeros menores que um bilho e mltiplos de quatro pertencem ao conjunto S?

(UNICAMP - 2006 - 1 FASE )O grfico ao lado mostra o total de acidentes de trnsito na cidade de Campinas e o total de acidentes sem vtimas, por 10.000 veculos, no perodo entre 1997 e 2003. Sabe-se que a frota da cidade de Campinas era composta por 500.000 veculos em 2003 e era 4% menor em 2002. a) Calcule o nmero total de acidentes de trnsito ocorridos em Campinas em 2003. b) Calcule o nmero de acidentes com vtimas ocorridos em Campinas em 2002. Adaptado de: Sumrio Estatstico da Circulao em Campinas 2002-2003. Campinas, EMDEC, 2004, p.12.

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Para trocar uma lmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo parede, conforme ilustrao ao lado. Refeito do susto, Roberto reparou que, aps deslizar, a escada passou a fazer um ngulo de 45 com a horizontal. Pergunta-se: a) Qual a distncia entre a parede da casa e o muro? b) Qual o comprimento da escada de Roberto?

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )A concentrao de CO2na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo Observatrio de Mauna Loa, no Hava. Os dados coletados mostram que, nos ltimos anos, essa concentrao aumentou, em mdia, 0,5% por ano. razovel supor que essa taxa anual de crescimento da concentrao de CO2ir se manter constante nos prximos anos. a) Escreva uma funo C(t) que represente a concentrao de CO2na atmosfera em relao ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial ou seja, aquele em que t = 0 o ano de 2004, no qual foi observada uma concentrao de 377,4 ppm de CO2na atmosfera. b) Determine aproximadamente em que ano a concentrao de CO2na atmosfera ser 50% superior quela observada em 2004. Se necessrio, use ,e.

(UNICAMP - 2006 - 1 FASE )Uma empresa possui 500 toneladas de gros em seu armazm e precisa transport-las ao porto de Santos, que fica a 300 km de distncia. O transporte pode ser feito por caminhes ou por trem. Para cada caminho utilizado paga-se R$ 125,00 de custo fixo, alm de R$ 0,50 por quilmetro rodado. Cada caminho tem capacidade para transportar 20 toneladas de gros. Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, alm de R$ 0,015 por quilmetro rodado. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Qual o custo de transporte das 500 toneladas de gros por caminhes e por trem? b) Para as mesmas 500 toneladas de gros, qual a distncia mnima do armazm ao porto de Santos para que o transporte por trem seja mais vantajoso que o transporte por caminhes?

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur tm 25 cm e 50 cm de dimetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substitu-lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual quele que foi danificado. b) Calcule a rea da regio a ser demarcada sobre o tecido que revestir o abajur.

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )De uma praia, um topgrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma rgua de 2m de comprimento. Usando seu teodolito, o topgrafo constatou que o ngulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da rgua de 60, enquanto o ngulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito base da rgua de 75. Sabendo que o teodolito est a uma altura de 1,6m do nvel da base da escarpa, responda s questes abaixo. a) Qual a distncia horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a rgua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa?

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Sejam dados: a matriz , o vetor eo vetor a) Encontre o conjunto soluo da equao det(A) = 0 . b) Utilizando o maior valor de x que voc encontrou no item (a), determine o valor de m para que o sistema linear Ay = b tenha infinitas solues.

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta o grfico da funo y = |x| em dois pontos distintos, A e B. a) Determine os possveis valores para m. b) Se O a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a rea do tringulo OAB seja mnima.

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )Um tringulo retngulo de vrtices A, B e C tal que = 6 cm, = 8 cm e = 10 cm. Os segmentos , e tambm so lados de quadrados construdos externamente ao tringulo ABC. Seja O o centro da circunferncia que circunscreve o tringulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados , e , respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos . b) Calcule os comprimentos dos lados do tringulo de vrtices D, E e F