Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2011)Uma grande preocupao atual a poluio, particularmente aquela emitida pelo crescente nmero de veculos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustvel, gerando CO2, alm de outros gases e resduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de CO2 a cada litro de combustvel que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b) A quantidade de CO2 produzida por quilmetro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questo, a funo c(v) que fornece a quantidade de CO2, em g/km, com relao velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por um polinmio do segundo grau. Determine esse polinmio com base nos dados da tabela abaixo.

(UNICAMP - 2011)O perfil lipdico um exame mdico que avalia a dosagem dos quatro tipos principais de gorduras (lipdios) no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (conhecido como bom colesterol), colesterol LDL (o mau colesterol) e triglicrides (TG). Os valores desses quatro indicadores esto relacionados pela frmula de Friedewald: CT = LDL + HDL + TG/5. A tabela abaixo mostra os valores normais dos lipdios sanguneos para um adulto, segundo o laboratrio SangueBom. a) O perfil lipdico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198 mg/dl, e que a de triglicrides era igual a 130 mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possvel para o seu nvel de LDL? b) Acidentalmente, o laboratrio SangueBom deixou de etiquetar as amostras de sangue de cinco pessoas. Determine de quantos modos diferentes seria possvel relacionar essas amostras s pessoas, sem qualquer informao adicional. Na tentativa de evitar que todos os exames fossem refeitos, o laboratrio analisou o tipo sanguneo das amostras, e detectou que trs delas eram de sangue O+ e as duas restantes eram de sangue A+. Nesse caso, supondo que cada pessoa indicasse seu tipo sanguneo, de quantas maneiras diferentes seria possvel relacionar as amostras de sangue s pessoas?

(UNICAMP - 2011) Um grupo de pessoas resolveu encomendar cachorros-quentes para o lanche. Entretanto, a lanchonete enviou apenas 15 sachs de mostarda e 17 de catchup, o que no suficiente para que cada membro do grupo receba um sach de cada molho. Desta forma, podemos considerar que h trs subgrupos: um formado pelas pessoas que ganharo apenas um sach de mostarda, outro por aquelas que ganharo apenas um sach de catchup, e o terceiro pelas que recebero um sach de cada molho. a) Sabendo que, para que cada pessoa ganhe ao menos um sach, 14 delas devem receber apenas um dos molhos, determine o nmero de pessoas do grupo. b) Felizmente, somente 19 pessoas desse grupo quiseram usar os molhos. Assim, os sachs sero distribudos aleatoriamente entre essas pessoas, de modo que cada uma receba ao menos um sach. Nesse caso, determine a probabilidade de que uma pessoa receba um sach de cada molho.

(UNICAMP - 2011 )No ms corrente, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa estuda, agora, alternativas para voltar a ter lucro. a) Primeiramente, assuma que a receita no variar nos prximos meses, e que as despesas sero reduzidas, mensalmente, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expresso do termo geral da progresso aritmtica que fornece o valor da despesa em funo de n, o nmero de meses transcorridos, considerando como ms inicial o corrente. Calcule em quantos meses a despesa ser menor que a receita. b) Suponha, agora, que a receita aumentar 10% a cada ms, ou seja, que a receita obedecer a uma progresso geomtrica (PG) de razo 11/10. Nesse caso, escreva a expresso do termo geral dessa PG em funo de n, o nmero de meses transcorridos, considerando como ms inicial o corrente. Determine qual ser a receita acumulada em 10 meses. Se necessrio, use 1,1 = 1,21; 1,1 1,33 e 1,15 1,61.

(UNICAMP - 2011)Define-se como ponto fixo de uma funo f o nmero real x tal que f(x) = x. Seja dada a funo a) Calcule os pontos fixos de f(x). b) Na regio quadriculada abaixo, represente o grfico da funo f(x) e o grfico de g(x) = x, indicando explicitamente os pontos calculados no item (a).

(UNICAMP - 2011)Considere uma gangorra composta por uma tbua de 240 cm de comprimento, equilibrada, em seu ponto central, sobre uma estrutura na forma de um prisma cuja base um tringulo equiltero de altura igual a 60 cm, como mostra a figura. Suponha que a gangorra esteja instalada sobre um piso perfeitamente horizontal. a) Desprezando a espessura da tbua e supondo que a extremidade direita da gangorra est a 20cm do cho, determine a altura da extremidade esquerda. b) Supondo, agora, que a extremidade direita da tbua toca o cho, determine o ngulo formado entre a tbua e a lateral mais prxima do prisma, como mostra a vista lateral da gangorra, exibida abaixo.

(UNICAMP - 2011)Uma placa retangular de madeira, com dimenses 10 x 20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em funo da medida w) sero dadas por em que acoordenada horizontal e a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem. a) Defina A(w), a funo que fornece a rea da placa recortada em relao a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm2 . b) Determine uma expresso geral para , a funo que fornece a dimenso w em relao coordenada , e calcule quando = 7/2 cm.

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) Recentemente, um rgo governamental de pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2 milhes de brasileiros saram da condio de indigncia. Nesse mesmo perodo, 8,2 milhes de brasileiros deixaram a condio de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes. O grfico abaixo mostra os percentuais da populao brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 2006 e 2009. Aps determinar a populao brasileira em 2006 e em 2009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que

(UNICAMP - 2011)Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que apresentam falhas aps T anos de uso dado pela seguinte funo: a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores tero apresentado falhas? b) Os novos computadores dessa empresa vm com um processador menos suscetvel a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas tambm seja dado por uma funo na forma , o percentual de processadores defeituosos aps 10 anos de uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo perodo, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a funo P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessrio, utilize log2(7) 2,81.

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) Considere trs modelos de televisores de tela plana, cujas dimenses aproximadas so fornecidas na tabela abaixo, acompanhadas dos preos dos aparelhos. Com base na tabela, pode-se afirmar que o preo por unidade de rea da tela

(UNICAMP - 2011)Suponha um trecho retilneo de estrada, com um posto rodovirio no quilmetro zero. Suponha, tambm, que uma estao da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodovirio, em linha reta, e a 24 km de distncia da estrada, conforme a figura abaixo. a) Duas antenas de rdio atendem a regio. A rea de cobertura da primeira antena, localizada na estao da guarda florestal, corresponde a um crculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodovirio, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que est mais prximo da estao da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regies circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regies no grfico abaixo, identificando a rea coberta simultaneamente pelas duas antenas. b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma nica antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distncias dessa antena ao posto rodovirio e estao da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilmetro da estrada essa antena deve ser instalada.

(UNICAMP - 2011)Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferncia de raio r e ngulo interno . a) Se o engenheiro adotar = 45, o segmento central medir . Nesse caso, supondo que d = 72 m, e r = 36 m, determine a distncia y entre as extremidades dos trechos a serem interligados. b) Supondo, agora, que = 60, r = 36 m e d = 90 m, determine o valor de x.

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) Depois de encher de areia um molde cilndrico, uma criana virou-o sobre uma superfcie horizontal. Aps a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a

(UNICAMP - 2011 - 1 FASE ) O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas ABO e Rh os mtodos mais comuns de classificao. A primeira tabela abaixo fornece o percentual da populao brasileira com cada combinao de tipo sanguneo e fator Rh. J a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de aglutinognio presentes em cada grupo sanguneo. Em um teste sanguneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivduo, a presena de aglutinognio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivduo tenha sangue A+ de cerca de

(UNICAMP - 2011)A caixa de um produto longa vida produzida como mostra a sequncia de figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 emendada na vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e so feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. Finalmente, as abas da caixa so dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposio do papel. a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de largura e 7 cm de profundidade, determine as dimenses x e y da menor folha que pode ser usada na sua produo. b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seo horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a frmula do volume da caixa final em funo das dimenses x e y da folha usada em sua produo.