Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 8) O papagaio (tambm conhecido como pipa, pandorga ou arraia) um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaixo mostra as dimenses de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadriltero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedao de linha. Uma das varetas reta e liga os vrtices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vrtices B e D, tem o formato de um arco de circunferncia e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. a) Calcule a rea do quadriltero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 9) Considere a matriz, cujos coeficientes so nmeros reais. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz so iguais a zero. Supondo tambm que no h nenhuma informao adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz no seja nulo. b) Suponha, agora, que para todo elemento em que j i, e que para os elementos em que . Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, .

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 10) Suponha que f :IR IR seja uma funo mpar (isto , f(x) = f(x)) e peridica, com perodo 10 (isto , f(x) = f(x+10)). O grfico da funo no intervalo [0, 5] apresentado abaixo. a) Complete o grfico, mostrando a funo no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funes g(y) = y2 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expresso de h(x) para 2,5 x 5.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 11) No desenho abaixo, a reta y = ax (a 0) e a reta que passa por B e C so perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B o ponto (2, 0), resolva as questes abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em funo de a. b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equao da circunferncia com centro em A e tangente ao eixo x.

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questo 12) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o nmero de integrantes usando estratgias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um perodo de uma semana e dobrar o nmero de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entraro 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que j tem 2200 membros, acredita que conseguir mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentar o nmero de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entraro no site B na primeira semana, 200 entraro na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar marca dos 10000 membros?

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 1) O transporte de carga ao porto de Santos feito por meio de rodovias, ferrovias e dutovias. A tabela abaixo fornece alguns dados relativos ao transporte ao porto no primeiro semestre de 2007 e no primeiro semestre de 2008, indicando claramente o aumento da participao percentual do transporte ferrovirio nesse perodo. Com base nos dados da tabela, responda s questes abaixo. a) Determine a carga total (em milhes de toneladas) transportada ao porto no primeiro semestre de 2007. Calcule tambm quantas toneladas foram transportadas por dutos no primeiro semestre de 2007. b) Sabendo que, no primeiro semestre de 2008, foram transportadas por rodovias 2,7 milhes de toneladas a menos do que o valor registrado pelo mesmo meio de transporte no primeiro semestre de 2007, calcule a participao percentual do transporte rodovirio no primeiro semestre de 2008

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 2) Uma lmpada incandescente de 100 W custa R$ 2,00. J uma lmpada fluorescente de 24 W, que capaz de iluminar to bem quanto a lmpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Responda s questes abaixo, lembrando que, em uma hora, uma lmpada de 100 W consome uma quantidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus clculos, considere que 1 kWh de energia custa R$ 0,50. a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de aquisio da lmpada, determine quanto custa manter uma lmpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faa o mesmo clculo para uma lmpada fluorescente de 24 W. b) Para iluminar toda a sua casa, Joo comprou e instalou apenas lmpadas fluorescentes de 24 W. Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente lmpadas incandescentes de 100 W para iluminar sua casa. Considerando o custo de compra de cada lmpada e seu consumo de energia, determine em quantos dias Fernando ter gasto mais com iluminao que Joo. Suponha que cada lmpada fica acesa 3 horas por dia. Suponha, tambm, que as casas possuem o mesmo nmero de lmpadas.

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 3) Em uma bandeja retangular, uma pessoa disps brigadeiros formando n colunas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais prximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas. a) Sabendo que m = 3n/4 e que a pessoa gastou o mesmo nmero de forminhas vermelhas e azuis, determine o nmero de brigadeiros da bandeja. b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro j pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de dimetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro corresponde a .)

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 4) Trs candidatos A, B e C concorrem presidncia de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos scios entrevistados, 150 no pretendem votar. Dentre os entrevistados que esto dispostos a participar da eleio, 40 scios votariam apenas no candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C. Alm disso, 190 disseram que no votariam em A, 110 disseram que no votariam em C, e 10 scios esto na dvida e podem votar tanto em A como em C, mas no em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quantos scios entrevistados esto em dvida entre votar em B ou em C, mas no votariam em A? Dentre os scios consultados que pretendem participar da eleio, quantos no votariam em B? b) Quantos scios participaram da pesquisa? Suponha que a pesquisa represente fielmente as intenes de voto de todos os scios do clube. Escolhendo um scio ao acaso, qual a probabilidade de que ele v participar da eleio mas ainda no tenha se decidido por um nico candidato? (Sugesto: utilize o diagrama de Venn fornecido abaixo)

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 5) Duas locadoras de automveis oferecem planos diferentes para a diria de um veculo econmico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, alm de R$ 0,40 por quilmetro rodado. J a locadora Mercrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado alm dos 200 km includos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Para cada locadora, represente no grfico abaixo a funo que descreve o custo dirio de locao em termos da distncia percorrida no dia. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno v manter inalterada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o mximo possvel, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distncias.

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 6) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma pea teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numerao consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribudos entre elas de forma aleatria. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente at a ltima fila. Determine o nmero de cadeiras da sala em funo de n, o nmero de filas que a sala contm. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n.

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 7) O sistema de ar condicionado de um nibus quebrou durante uma viagem. A funo que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do nibus em funo de , o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, , onde a temperatura interna do nibus enquanto a refrigerao funcionava, e a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que e , responda s questes abaixo. a) Calcule a temperatura no interior do nibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. Em seguida, esboe abaixo o grfico de . b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4C. Se necessrio, use , e .

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 8) Pedro precisa comprar x borrachas, y lpis e z canetas. Aps fazer um levantamento em duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lpis e canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 2,00 pelo lpis e R$ 3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo lpis e R$ 4,00 pela caneta. a) Fornea o nmero de lpis e de borrachas que Pedro precisa comprar em funo do nmero de canetas que ele pretende adquirir. b) Levando em conta que , e , e que essas trs variveis so inteiras, determine todas as possveis quantidades de lpis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar.

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questo 9) A figura abaixo, esquerda, mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura direita mostra o diagrama usado para a confeco do sapo, na qual se utiliza um retngulo de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem parte superior e pata direita do sapo, e so objeto das perguntas a seguir. a) Quais devem ser as dimenses, em centmetros, do retngulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem rea igual a 12cm2 ? b) Qual a razo entre os comprimentos das arestas a e b da pata direita do sapo?

(UNICAMP - 2009 - 1 FASE) Na dcada de 1960, com a reduo do nmero de baleias de grande porte, como a baleia azul, as baleias minke antrticas passaram a ser o alvo preferencial dos navios baleeiros que navegavam no hemisfrio sul. O grfico ao lado mostra o nmero acumulado aproximado de baleias minke antrticas capturadas por barcos japoneses, soviticos/russos e brasileiros, entre o final de 1965 e o final de 2005. a) No grfico abaixo, trace a curva que fornece o nmero aproximado de baleias caadas anualmente por barcos soviticos/russos entre o final de 1965 e o final de 2005. Indique tambm os valores numricos associados s letras A e B apresentadas no grfico, para que seja possvel identificar a escala adotada para o eixo vertical. b) Calcule o nmero aproximado de baleias caadas pelo grupo de pases indicado no grfico entre o final de 1965 e o final de 1990.