Questões de Matemática - UNICAMP | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) O teorema fundamental da aritmtica garante que todo nmero natural n 1 pode ser escrito como um produto de nmeros primos. Alm disso, se , onde p1, p2, K e prso nmeros primos distintos, ento o nmero de divisores positivos de n d(n)=(t1+1) (t2+1) K (tr+1) a) Calcule d(168), isto , o nmero de divisores positivos de 168. b) Encontre o menor nmero natural que tem exatamente 15 divisores positivos.

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) Considere trs circunferncias em um plano, todas com o mesmo raio r = 2cm e cada uma delas com centro em um vrtice de um tringulo eqiltero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de comprimento mnimo que tangencia externamente as trs circunferncias. a) Calcule a rea da parte do tringulo que est fora das trs circunferncias. b) Calcule o comprimento da curva C.

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-par. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-par, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Alm disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um tero da soma das outras duas. a) Escreva o sistema linear que representa a situao descrita acima. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)O sistema de numerao na base 10 utiliza, normalmente, os dgitos de 0 a 9 para representar os nmeros naturais, sendo que o zero no aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos so os nmeros naturais de cinco algarismos formados por cinco dgitos diferentes? b) Escolhendo-se ao acaso um desses nmeros do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente?

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)Considere, no plano xy, as retas y =1, y = 2x - 5 e x - 2y + 5 = 0 . a) Quais so as coordenadas dos vrtices do tringulo ABC formado por essas retas? b) Qual a rea do tringulo ABC ?

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)As populaes de duas cidades, A e B, so dadas em milhares de habitantes pelas funes eonde a varivel t representa o tempo em anos. a) Qual a populao de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7 ? b) Aps certo instante t, a populao de uma dessas cidades sempre maior que a da outra. Determine o valor mnimo desse instante t e especifique a cidade cuja populao maior a partir desse instante.

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)Considere a equao trigonomtrica a) Mostre que no so solues dessa equao os valores de para os quais b) Encontre todos os valores de que so solues da equao.

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)Considere o polinmio p(x )=x3+2x2+5x+26 a) Verifique se o nmero complexo 2 + 3i raiz desse polinmio. b) Prove que p(x) 0 para todo nmero real x 2.

(UNICAMP - 2001 - 1 FASE) A tabela abaixo fornece as reas, em hectares, ocupadas com transgnicos em alguns pases do mundo, nos anos de 1997 e 1998: a) Qual era a rea total, em hectares, ocupada com transgnicos em 1997?Considerando apenas o que consta nessa tabela, pergunta-se: b) Qual foi o crescimento, em porcentagem, da rea total ocupada com transgnicos de 1997 para 1998?

(UNICAMP - 2001 - 1 FASE) Um terreno tem a forma de um trapzio retngulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimenses: = 25 m , = 24 m , =15 m . a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$50,00, qual o valor total do terreno? b) Divida o trapzio ABCD em quatro partes de mesma rea, por meio de trs segmentos paralelos ao lado BC. Faa uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimenses das divises no lado AB .

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) A base de uma pirmide um tringulo eqiltero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm. a) Calcule a altura da pirmide. b) Qual o raio da esfera circunscrita pirmide?