(IME 2022/2023 - 2 fase)A figura acima ilustra um

(IME 2022/2023 - 2ª fase)

 

A figura acima ilustra um planeta esferico hipotético de raio R e massa M uniformemente distribuída em seu volume.

Seja um corpo de massa \(m\) que possa ser movimentado por meio de motores.

Em uma primeira etapa A, o corpo descreve uma órbita circular de raio \(r_{2}\) em uma cavidade estreita no interior do planeta.

Em uma etapa B, os motores do corpo são acionados para transportá-lo, através de uma passagem não representada na figura acima, da órbita circular de raio \(r_{2}\) para a órbita circular de raio \(r_{3}\) .

Em uma etapa C, o corpo descreve uma órbita circular de raio \(r_{3}\) .

 

Dado:

• constante universal da gravitação: G.

 

Observações: 

• despreze o atrito agindo no movimento do corpo;
• para efeitos gravitacionais, despreze a falta de massa na cavidade de raio \(r_{2}\).

 

Diante do exposto, determine:

a) o trabalho realizado pela força gravitacional para o corpo dar uma volta pela órbita circular de raio \(r_{2}\) durante a etapa A;

b) a velocidade de órbita do corpo durante a etapa A;

c) o trabalho realizado pelos motores para cumprir a etapa B, ou seja, mudar a trajetória do corpo da órbita circular de raio \(r_{2}\) para a órbita circular de raio \(r_{3}\);

d) o período para completar uma volta em torno do planeta durante a etapa C.