(IME 2022/2023 - 2 fase)Em uma experincia de campo

(IME 2022/2023 - 2ª fase)

 

Em uma experiência de campo, uma fonte sonora é deixada cair de um helicóptero a velocidade inicial nula. Um observador situado a uma distância desprezível do ponto de impacto no solo usa um instrumento para registrar a frequência da onda emitida pela fonte. Antes de a fonte atingir o solo, a frequência medida aumenta a princípio, mas depois se torna constante dentro do limite de precisão do instrumento.

 

Dados:

• massa da fonte sonora: \(m\);
• frequência da fonte sonora: \(f_0\) ;
• frequência máxima captada pelo instrumento do observador: \(f_1\) ;
• velocidade local do som: \(v_{s}\) ;
• aceleração da gravidade: \(g\).

 

Supondo que a força de arrasto que o ar exerce sobre a fonte sonora e dada por\(F = cv^{2}\) , no sentido oposto ao do movimento, em que \(c\) é uma constante a ser calculada e \(v\) é a velocidade escalar instantânea da fonte:

 

a) Determine a velocidade máxima da fonte medida pelo observador em função dos dados listados acima.

b) Determine o valor da constante \(c\).

c) Ao tentar exprimir a velocidade \(v\) em função do tempo \(t\), em que \(t = 0\) e o instante em que a fonte deixa o repouso, indique quais das cinco funções abaixo, em que \(k_1\) e \(k_2\) são constantes positivas, não servem como aproximações de \(v(t)\) por serem inconsistentes no início e na estabilização da velocidade.

 

\(v(t) \approx f_{1}(t) = \frac{k_{1}t}{1+k_{2}t}\)

\(v(t) \approx f_{2}(t) = \frac{k_{1}t^{2}}{1+k_{2}t}\)

\(v(t) \approx f_{3}(t) = \frac{k_{1}}{1+k_{2}t}\)

\(v(t) \approx f_{4}(t) = k_{1}(1-e^{-t/k_{2}})\)

\(v(t) \approx f_{5}(t) =\frac{k_{1}(1-e^{-t/k_{2}})}{1+e^{-t/k_{2}}}\)