Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

Joao nasceu no ano e est prestando vestibular para o IME em 2023. Sejam A, B e C conjuntosde inteiros positivos tais que . Sabe-se que h n funes estritamente crescentes deA para C , bem como de B para C. Observaes: representa o nmero de elementos do conjunto ; uma funo estritamente crescente quando implica . Diante do exposto, determine: a) o nmero de funes estritamente crescentes de A para C em funo de e ; b) o ano no qual Joo nasceu.

Para n natural positivo, o nmero On definido como a soma dos n primeiros termos da progresso aritmtica de razo 6 iniciada em 1. Dos 2024 primeiros nmeros On, quantos apresentam resto 1 na diviso por 8 ?

Dado um planoe uma retanele contida, sejam A e B pertencentes adois pontos em um mesmo semiplano definido por. O ponto o semtrico aem relao reta. Os segmentos de retaeinterceptam a retanos pontose, respectivamente. Se um ponto da retadistinto de, prove que

Data a equao abaixo o valor de um nmero real Determine: a) os valores de para os quais a equao admite soluo; b) as solues, em radianos, da equao em funo de .

Considere uma pirmide triangular regular reta de altura h. Uma esfera de raio r contm os ortocentros das faces laterais da pirmide e o vrtice do qual foi traada a altura da pirmide. Calcule o volume da pirmide em funo de r e h.

Sejam dois dados cbicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de ocorrncia. Com um nico lanamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuao com o dodecaedro do que com os dois dados cbicos somados :

Para cada nmero inteiro, seja. Determine o menor valor depara o qual

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Determine o(s) valor(es) real(ais) de x tal(is) que

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Considere as matrizese.Seja a transposta da matriz . Sabendo que ento

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Seja. Mostre que o valor de um nmero inteiro para todo valor do ngulodiferente de, come calcule esse valor.

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Seja uma funo definida em tal que . Para todo valem as seguintes desigualdades e. Se , o valor de