Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Um determinado material radioativo, com volume inicial, manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resduo impuro da substncia descartado, atravs de uma ligao por um pequeno orifcio, num invlucro lacrado em formato de paraleleppedo retngulo. No primeiro dia, a quantidadedescartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidadedescartada no n-simo dia dada pela relao:para n 2Determine as dimenses do invlucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricao seja mnimo (isto , a superfcie lateral tenha rea mnima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Todos os arcos entre e radianos que satisfazem a desigualdade esto compreendidos entre:

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) O lugar geomtrico definido pela equao representa:

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Um tringulo equiltero projetado ortogonalmente em um plano, gerando um tringulo issceles, cujo ngulo desigual mede . O cosseno do ngulo do plano do tringulo equiltero com o plano de projeo :

(IME-2019/2020 - 1 fase) QUESTO ANULADA!! Em um cubo regular de aresta , os pontos , e pertencentes s trs arestas distintas que partem do vrtice esto a uma distncia de tal que Para que plano seja tangente esfera inscrita no cubo, o valor de : a) b)(Resposta correta, porm como contradiz o que o enunciado estabelece, questo anulada) c) d) e) QUESTO ANULADA!!

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Considere a funo onde um nmero real positivo. Seja a reta secante ao grfico de em e e a reta tangente ao grfico de que paralela reta . A rea do quadriltero formado pela reta , a reta , a reta e a reta unidades de rea. O valor de , em unidades de comprimento, :

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Aristeu e seu irmo nasceram nos sculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois j fizeram aniversrio e a idade de cada um deles a soma dos trs ltimos dgitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual a soma das idades dos dois irmos?

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Um jogo de domin possui 28 peas com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada pea seja nica, conforme ilustra a Figura 1. O jogo se desenrola da seguinte forma: 1- Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada. 2- No incio do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peas, de forma aleatria, de modo que somente o detentor das peas possa ver seu contedo. 3- As aes ocorrem por turnos no sentido anti-horrio. 4- O jogador com a pea 6|6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, executa uma de duas aes possveis: a. Adiciona uma de suas peas de forma adjacente a uma das duas extremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peas sejam encaixadas com pontas de mesmo valor. b. Passa a vez, caso no possua nenhuma pea com ponta igual a uma das extremidades livres da mesa. 5- Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peas na mo. No jogo da Figura 2, a sua vez de jogar e voc constatou que o jogador sua direita no possui peas com ponta 5 e o jogador sua frente no possui peas com ponta 0. Voc analisou todas as possveis configuraes de peas que os jogadores podem ter em suas mos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa s possa ser usada por uma pea de sua posse, e que esta ser a sua ltima pea em mo. Ao utilizar essa estratgia: a) Quantas configuraes de peas nas mos dos jogadores garantem a vitria do jogo a voc? b) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configuraes possveis? Observao: A ordem das peas na mo de um jogador no importa.

(IME - 2018/2019) Os ngulosso os termos de uma progresso aritmtica na qual. O valor de:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Definimos a funo f: da seguinte forma: Determine f(f(2019)). Observao : [k] o maior inteiro menor ou igual a k

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Dadas as funes definidas nos reais : . Mostre que existe uma nica soluo tal que: seja uma funo constante nula, onde

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Calcule o valor do determinante:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Seja um nmero complexo tal que possui argumento igual a e . Determine o nmero complexo .

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Seja a inequao: Seja (a,b) um intervalo contido no conjunto soluo dessa inequao. O maior valor possvel para :

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Mostre que os nmeros 16, 24 e 81 podem pertencer a uma PG e obtenha a quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos so nmeros naturais.