Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2016/2017) Sejam uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica de termos inteiros, de razo e razo , respectivamente, onde e so inteiros positivos, com e . Sabe-se, tambm, que , . O valor de :

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Sejam os pontos , , , e .A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentgono ABCDE em dois polgonos de mesma rea. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseo da reta r com a reta que liga C e D.

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a. A rea do novo quadriltero formado pelas intersees dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede:

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Um tronco de pirmide regular possui 12 vrtices. A soma dos permetros das bases 36 cm, a soma das reas das bases cm2 e sua alturamede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirmide.

(IME - 2016/2017 - 1 fase) O polinmio P(x) = x3 - bx2 + 80x - c possui trs razes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das razes do polinmio so divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c c2. Qual o valor de b?

(IME - 2016/2017 - 1 fase) Sejam Z1 e Z2 nmeros complexos tais que Z2 imaginrio puro e |Z1-Z2|=|Z2|. Para quaisquer valores de Z1 e Z2 que atendam a essas condies tem-se que:

(IME - 2015/2016) Dados trs conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G H igual ao conjunto:

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Os inteiros esto em PA com razo nula. Os termos esto em PG, assim como. Determine j.

[IME-2015 / 2016- 1 fase] O polinmiotem razes reais, - e 1/. Portanto o valor da soma

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Sejam as funes fn, para n{0,1,2,3,...}, tais que: f0(x) =e fn(x) = f0(fn-1(x)), para n1. Calcule f2016(2016).

[IME-2015 / 2016- 1 fase] Sabendo-se que m e n so inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n2, determine o resto dadiviso de m+n por 5.

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Seja um nmero complexo tal quepossui argumento igual ae. Determine o nmero complexo.

[IME-2015 / 2016- 1 fase] O valor do somatrio abaixo

[IME-2015/2016- 2 fase] Define-seA comoa matriz2016x2016, cujos elementos satisfazem igualdade: para{1, 2, ..., 2016}. Calcule o determinante de A.

[IME-2015 / 2016- 1 fase] Seja Px = x2 + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) tm uma raiz em comum. Pode-seafirmar que para todo valor a e b