Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2007/2008) Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertenam circunferncia de equao . Determine o maior valor possvel de

(IME - 2007/2008)Assinale a opo correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equaes dado por: ,admite soluo real

(IME - 2007/2008)A soma dos nmeros inteiros positivos de quatro algarismos que admitem 3, 5 e 7 como fatores primos :

(IME - 2007/2008)Seja x um nmero real ou complexo para o qual. O valor de

(IME - 2007/2008)Seja ai um dos termos da progresso geomtrica com oito elementos (2,1,1/2, 1/4, ...), e. See, o valor de f(1) ser:

(IME - 2007/2008)Sejam ee. Se os valores da base e da altura de um tringulo so definidos por h(0,5) e h(0,75) respectivamente, a rea desse tringulo igual a:

(IME - 2016 - 1a FASE) Um trapzio ABCD, de base menorAB e base maior CD, possui base mdia MN. Os pontos M e N dividem a base mdia em trs segmentos iguais, na ordem MMNN. Ao se traar as retas AM e BN, verificou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado CD no ponto P. Calcule a rea do trapzio MNCD em funo da rea de ABCD.

(IME - 2005/2006 - 1 FASE) Sejame termos de uma sequncia. Determine, em funo de n, os valores de r e s que tornam esta sequncia em uma PA, tal que r, se.

[IME- 2006/2007] Sejam C e C* dois crculos tangentes exteriores de raios r e r* e centros O e O*, respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C* nos pontos no coincidentes A e A*. Considere o slido de revoluo gerado a partir da rotao do segmento AA* em torno do eixo OO*, e seja S a sua correspondente rea lateral. Determine S em funo de r e r*.

(IME - 2006/2007 - 2 FASE) O quadriltero BRAS, de coordenadas A(1,0), B(-2,0), e construdo tal que . Sabendo que o ponto R pertence reta t de equao y=x+1, determine a equao algbrica do lugar geomtrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t.

(IME - 2006/2007 - 2 FASE) Sejam x1 e x2 as razes da equao. Sabendo que x1 e x2 so nmeros inteiros, determine o conjunto de valores possveis para m.

(IME - 2006/2007 - 2 FASE) Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o nmero de seqncias simtricas que podem ser formadas utilizando-se todas as m+n bolas. Observao: uma seqncia dita simtrica quando ela possui a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita.

(IME - 2006/2007 - 2 FASE) Considere as matrizes e , e seja P uma matriz inversvel tal que . Sendo n um nmero natural, calcule o determinante da matriz .

Considere o sistema de equações dado por : Sendovalores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua infinitas soluçõesé :

[IME - 2005/2006 - 2a fase]Considereum tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em funo de a, calcule a) o volume total da esfera; b) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro.