Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Sejam x1, x2 e x3 razes da equao. Sendo aum nmero real, o valor de igual a:

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Sejaum nmero complexo tal que,e. A soma dos inversos dos possveis valores deest no intervalo:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Seja o polinmio 𝑞(𝑥) = 𝑥4 8𝑥3 + 6𝑥2 + 40𝑥 + 25 + 𝑘 que possui valor mnimo igual a 64, onde 𝑘 uma constante real. Determine as razes de 𝑞(𝑥).

(IME - 2018/2019 - 1 FASE ) Definimos a funoda seguinte forma: Definimos a funoda seguinte forma:. Podemos afirmar que:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Determine todas as solues da equao 4 𝑠𝑒𝑛2(7𝑥) ∙ cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) + 8 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 5 cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) = 4 no intervalo

(IME - 2018/2019 - 1 FASE ) Em um jogo de RPG Role-Playing Game em que os jogadores lanam um par de dados para determinar a vitria ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados so icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem de dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversrio somou 35 pontos na rolagem de dados. sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo?

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) A reta r normal cnica 𝐶, de equao 9𝑥2 4𝑦2 = 36, no pontoe intercepta o eixo das abscissas no ponto B. Sabendo que F o foco da cnica 𝐶 mais prximo ao ponto A, determine a rea do tringulo 𝐴𝐵𝐹.

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Uma corda 𝐶𝐷 corta o dimetro 𝐴𝐵 de um crculo de raio 𝑅 no ponto 𝐸.Sabendo que o nguloe que, calcule a medida do segmento.

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Um hexgono regular est inscrito em um crculo de raio 𝑅. So sorteados 3 vrtices distintos do hexgono, a saber: 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Seja 𝑟 o raio do crculo inscrito ao tringulo 𝐴𝐵𝐶. Qual a probabilidade de que?

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) O nmero de solues reais da equao abaixo :

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Um cubo com diagonal principal interceptado pelo plano, perpendicular , formando uma seo hexagonal regular, Calcule, em funo da aresta a do cubo: a) o aptema dessa seo hexagonal; b) o raio da esfera que tangente a essa seo e s faces do cubo que contm o vrtice A.

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Seja um tringulo ABC com lados a, b e c opostos aos ngulos , B̂ e Ĉ, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progresso aritmtica nesta ordem. Determine a relao correta entre as funes trigonomtricas dos ngulos dos vrtices desse tringulo.

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Uma hiprbole equiltera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotao de 45no sentido anti-horrio em torno da origem. A equao dessa hiprbole aps a rotao :

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Em um setor circular de 45, limitado pelos raios e iguais a R, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde est apoiado em e o ponto Q sobre o raio . Ento, o permetro do quadrado :

(IME - 2018/2019 - 1 FASE ) Considere as afirmaes abaixo: | ) se trs pontos so colineares, ento eles so coplanares; || ) se uma reta tem um ponto sobre um plano, ento elaest contida nesse plano; ||| ) se quatro pontos so no coplanares, ento eles determinam 6 (seis) planos; IV ) duas retas no paralelas determinam um plano; V ) se dois planos distintos tm um ponto em comum, ento a sua interseo uma reta; Entre essas afirmaes