Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Considere os conjuntos de nmeros complexos: tal quee e tal quee max onde , , e so nmeros reais positivos e max o maior valor entre os reais e . O menor valor de , em funo de , e , para que se tenha

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Determine a soma de todos os valores reais de k para os quais o sistema possui soluo nica, sabendo que

(IME - 2022/2023 - 1 fase) A equao arctg() + arctg() = arctg, em que arctg() o arco tangente de , apresenta:

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Sejam os nmeros complexos tais que suas partes reais e imaginrias formam, respectivamente, uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica crescentes de nmeros reais e de mesma razo. Sabe-se que e onde + e . Considere e . Calcule o valor de em funo de .

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Dez nmeros reais formam uma progresso geomtrica (PG) com razo . Removem-se ao acaso cinco desses nmeros. A probabilidade de que os cinco nmeros restantes estejam em PG

(IME - 2022/2023 - 2 fase) As razes da equao so os comprimentos dos lados de um tringulo em metros. Determine a rea deste tringulo.

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Seja um tetraedro de vrtices , , e . So dados os ngulos em radianos: e e os comprimentos das arestas em centmetros e. A distncia em centmetros do ponto ao plano

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vrtices ao acaso. Calcule a probabilidade dos 3 vrtices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Seja um tringulo acutngulo IME conforme a figura abaixo tal que, ondeeso respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao tringulo e no pertencentes aos lados. Calcule o ngulo, sabendo que os ngulos

(IME - 2022/2023 - 1 fase)A soma dos inversos das solues inteiras da equao

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Sejamnmero reais maiores que 1. Considere a expresso: onde Prove que o valor de um nmero inteiro e calcule este valor.

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Seja definida como.Ento:

(IME - 2022/2023 - 2 fase) Sejam um tetraedro regular e um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razo entre as reas totais de e 2. Determine a razo entre os volumes de e .

(IME - 2022/2023 - 1 fase)Um polgono regular possui vrtices . Escolhem-se ao acaso 4 vrtices do polgono, formando o quadriltero . A probabilidade de ser um retngulo

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Considere um ponto cujas coordenadas , , satisfazem o sistema onde um ngulo em radianos diferente de . O lugar geomtrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ngulo , um segmento de: