Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere o sistema de equaes com a, b, c, d, p e q reais, , a + b = m e d = nc. Sabe-se que o sistema indeterminado. O valor de p + q

[IME - 2012/2013 - 1a fase] O coeficiente de no desenvolvimento de :

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere um tringulo ABC com lado BC igual a L. So dados um ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC, de modo que sejam vlidas as relaes , com m 1. Pelo ponto mdio do segmento DE, denominado M, traa-se uma reta paralela ao lado BC, interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o comprimento do segmento MH, em funo de m e L.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Seja um tringulo ABC. AH a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos possveis valores inteiros de BM

[IME- 2012/2013- 2fase] Considereum crculo com centro C, na origem, e raio 2. Esse crculo intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B, sendo a abscissa de A menor do que a abscissa de B. Considere P e Q, dois pontos desse crculo, com ordenadas maiores ou iguais a zero. O ngulo formado entre o segmento CP e CQ vale/3 rad. Determine a equao do lugar geomtrico descrito pelo ponto de interseo dos segmentos AP e BQ internos ao crculo.

[IME- 2012/2013- 2fase] So dadas duas matrizes A e B tais quee, com x e y reais e x y. Determine a) o(s) valor(es) de x e y. b) as matrizes A e B que satisfazem as equaes apresentadas.

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Seja ∆ o determinante da matriz .O nmero de possveis valores de x reais que anulam ∆ :

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere um tetraedro regular ABCD e um plano , oblquo base ABC. As arestas DA, DB e DC, desse tetraedro so seccionadas, por este plano, nos pontos E, F e G, respectivamente. O ponto T a interseo da altura do tetraedro, correspondente ao vrtice D, com o plano . Determine o valor de DT sabendo que

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Seja o nmero complexo , onde a e b so nmeros reais positivos e . Sabendo que o mdulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e ()rad, o valor de a

[IME- 2012/2013- 2fase] Considere a seguinte definio: dois pontos P e Q, de coordenadas e , respectivamente, possuem coordenadas em comum se e somente se Dado o conjunto S = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}. Determine quantas funes bijetoras f: S S existem, tais que para todos os pontos P e Q pertencentes ao conjunto S, f(P) e f(Q) possuem coordenadas em comum se e somente se P e Q possuem coordenadas em comum.

(IME - 2012/2013) Entre os nmeros 3 e 192 insere-se igual nmero de termos de uma progresso aritmtica e de uma progresso geomtrica com razesr e q, respectivamente, onde r e q so nmeros inteiros. O nmero 3 e o nmero 192 participam destas duas progresses. Sabe-se que o terceiro termo de ,em potncias crescentes de , .O segundo termo da progresso aritmtica

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Um menino, na cidade do Rio de janeiro, lana uma moeda. Ele andar 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distncia de sua posio inicial, aps 9 lanamentos da moeda,

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posio inicial desta haste horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, at que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equao do lugar geomtrico, no primeiro quadrante, traado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere uma pirmide regular de base hexagonal e altura h. Uma esfera de raio R est inscrita nesta pirmide. O volume desta pirmide :

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Considere a figura abaixo formada por arcos de circunferncia tangentes cujos centros formam um pentgono regular inscritvel em uma circunferncia de raio R. O permetro da figura :