Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Determine o conjunto soluo da equao:

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Seja a equao. Determine todos os pares inteiros (m, n), que satisfazem a esta equao.

(IME- 2015 / 2016) Sabendo-se que os nmeros reais positivos a, b e c formam uma progresso geomtrica e,e formam uma progresso aritmtica, ambas nessa ordem,ento pode-se afirmar que a, b e c

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O valor da soma abaixo :

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Trs jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado no viciado de seis faces. O primeiro jogador lana o dado, seguido pelo que est sentado sua esquerda, continuando neste sentido at o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado 1, o jogador seguinte perder a vez, isto , a vez passar ao jogador sentado direita de quem obteve 1. O jogo seguir at que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual a probabilidade de vitria do primeiro jogador a jogar?

[IME- 2015/2016 - 2 fase] A circunferncia C tem equao x2 + y2 = 16. Seja C uma circunferncia de raio 1 que se desloca tangenciando internamente a circunferncia C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C rola internamente sobre C. Define-se o ponto P sobre Cde forma que no incio do movimento de C o ponto P coincide com o ponto de tangncia (4,0), conforme figura a. Aps certo deslocamento, o ngulo de entre o eixo x e a reta que une o centro das circunferncias , conforme figura b. Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C em funo do ngulo. Determine a equao em coordenadas cartesianas do lugar geomtrico do ponto P quando varia no intervalo.

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Seja. O maior valor de a, com a 1, que satisfaz A24 = I :

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Uma corda intercepta o dimetro de um crculo de centro O no ponto C segundo um ngulo de 45. Sejam A e B os pontos extremos desta corda, e a distncia AC igual a . O raio do crculo mede 2cm, e C a extremidade do dimetro mais distante de C. O prolongamento do segmento AO intercepta BC em A. Calcule a razo em que A divide BC.

[IME- 2015/2016 - 2 fase] Um cone inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone o crculo inscrito na base ABCD. O vrtice do cone o centro da face oposta do cubo. A projeo do vrtice H na base ABCD coincide com o vrtice D. Determine a rea da seo do cone pelo plano ABH em funo de a, a medida da aresta do cubo.

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Quantos inteiros k satisfazem desigualdade?

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Seja a equao . As solues dessa equao para formam um polgono no crculo trigonomtrico de rea

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O lugar geomtrico dos pontos em ℝ equidistantes s retas de equaes 4x + 3y - 2 = 0 e 12x -16y + 5 = 0

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distncias entre esses pontos, quatro delasvalem a e duas delas valem b. O valor mximo da relao

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Em um tringulo , o ponto o p da bissetriz relativa ao ngulo . Sabe-se que , e que Portanto o valor de

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que so paralelos entre si esituados a uma distncia d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado paralela a dois lados do outroquadrado. Liga-se cada vrtice de cada quadrado aos dois vrtices mais prximos do outro quadrado. Obtm-se, assim, tringulos que, conjuntamente com os quadrados, formam umslido S. Qual a distncia entre estes planos distintos em funo de a, de modo que os tringulos descritos acima sejam equilteros?