Questões de Matemática - IME | Gabarito e resoluções

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Considere um ponto cujas coordenadas , , satisfazem o sistema onde um ngulo em radianos diferente de . O lugar geomtrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ngulo , um segmento de:

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Um aluno distrado desmontou um relgio. Ao remont-lo, trocou a posio dos ponteiros das horas e dos minutos, de modo que o ponteiro das horas passou a girar com a velocidade do ponteiro dos minutos, e vice-versa. Sabendo que o relgio foi acertado para as 4 horas, o intervalo que contm o horrio que marcar a hora certa novamente pela primeira vez

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Um tringulo possui incentro e ex-incentro relativo ao lado . Seento o ngulo

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Seja a equao . A soma dos mdulos das solues reais desta equao

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Se a equao representa no plano real duas retas concorrentes, ento o valor positivo do nmero real c

(IME - 2022/2023 - 1 fase) Um nmero natural palndromo quando o mesmo lido da esquerda para a direita e vice-versa. Seja um nmero natural palndromo tal que . Se um cubo perfeito, ento a soma dos algarismos de

(IME - 2021/2022) QUESTO ANULADA! Seja o sistema O valor de:

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Seis irmos conversavam quando um deles, Matias, enunciou: a soma das idades de todos ns cinco vezes a minha idade atual e sou seis anos mais novo que Sfocles. Quando Sfocles tiver trs vezes a minha idade atual, constataremos que: a soma da minha idade com a de Dmocles ser igual soma da idade atual dos irmos de Csar; a idade de Eraststenes ser trs vezes a idade dele atual; e a idade doLutero ser duas vezes a idade atual do Sfocles, mais um ano. Diante do exposto, qual a soma das idades atuais de Sfocles e Matias?

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Suponha que a e b so raizes reais e diferentes da equao. O intervalo [a,b] o domnio da funo SejaDetermine g(0)

(IME - 2021/2022) Sejao conjunto de todos os valores depara os quais a soma dos termos da progresso assume um valor finito. Define-se a funo, para cada, tal que A soma das razes da equao, :

(IME - 2021/2022) Em um tringulo de vrtices A (0, 0), B (2, 4) e C (6, 0), torna-se um ponto varivel M sobre o lado AB. Desse ponto, traa-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q. Identifique o lugar geomtrico descrito pelo ponto de interseo das retas BQ e CM e escreva a sua equao.

(IME - 2021/2022) Considere o conjunto de todas as retas que so secantes ao grfico da funo e que passam pelo ponto O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto :

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q mdio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M, respectivamente, e tambm nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N, respectivamente. O plano M M N N divide o tretaedro em dois volumes com razo de 1 para 4. Determine QP em funo de a.

(IME - 2021/2022) Quantos pares ordenados (x, y) de nmeros inteiros satisfazem a equao 1/x + 1/y = 1/23?

(IME - 2021/2022 - 2 fase) Considere o sistema a seguir Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema inderteminado. Para esse valor de k, encontre a soluo x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de