Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Uma empresa construiu um poo para armazenar gua de reso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construo foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poo :

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Um deltaedro um poliedro cujas faces so todas tringulos equilteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vrtices, ento o nmero de faces desse deltaedro : Note e adote: Em poliedros convexos, vale a relao de Euler , em que o nmero de faces, o nmero de arestas e o nmero de vrtices do poliedro.

(FUVEST- 2022 - 1 fase) A figura mostra um quadrado e um crculo, ambos com centro no ponto 𝑂. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o crculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto 𝐴 est sobre o contorno do quadrado, o ponto 𝐵 est sobre o contorno do crculo, e o segmento 𝐴𝐵 tem tamanho 2 u.m. Quando o ngulo for mximo, seu cosseno ser:

(FUVEST- 2022 - 1 fase) Suponha que o polinmio , em que 𝑚 um nmero real, tenha uma raiz real dupla 𝑎 e uma raiz real simples 𝑏. O valor da soma de 𝑚 com 𝑎 :

(FUVEST - 2022 - 1 fase) Quatro tanques cilndricos so vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos tm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vrtices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura). O comprimento da fita, em metros, :

(FUVEST- 2022 - 1 fase) Em fevereiro de 2021, um grupo de fsicos da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) publicou um artigo que foi capa da importante revista Nature. O texto a seguir foi retirado de uma reportagem do site da UFMG sobre o artigo: O nanoscpio, prossegue Ado Jorio (professor da UFMG), ilumina a amostra com um microscpio ptico usual. O foco da luz tem o tamanho de um crculo de 1 micrmetro de dimetro. O que o nanoscpio faz inserir uma nanoantena, que tem uma ponta com dimetro de 10 nanmetros, dentro desse foco de 1 micrmetro e escanear essa ponta. A imagem com resoluo nanomtrica formada por esse processo de escaneamento da nanoantena, que localiza o campo eletromagntico da luz em seu pice, afirma o professor. Itamar Rigueira Jr. Nanoscpio da UFMG possibilita compreender estrutura que torna grafeno supercondutor. Adaptado. Disponvel em https://ufmg.br/comunicacao/noticias/. Gadelha A C et al. (2021), Nature, 590, 405-409, doi: 10.1038/s41586-021-03252-5. Com base nos dados mencionados no texto, a razo entre o dimetro do foco da luz de um microscpio ptico usual e o dimetro da ponta da nanoantena utilizada no nanoscpio da ordem de:

(FUVEST- 2022 - 1 fase) A quantidade de bactrias em um lquido diretamente proporcional medida da turbidez desse lquido. O grfico mostra, em escala logartmica, o crescimento da turbidez 𝑥 de um lquido ao longo do tempo 𝑡 (medido em minutos), isto , mostra log10𝑥 em funo de 𝑡. Os dados foram coletados de 30 em 30 minutos, e uma curva de interpolao foi obtida para inferir valores intermedirios. Com base no grfico, em quantas vezes a populao de bactrias aumentou, do instante 𝑡0para o instante 𝑡1?

(FUVEST 2021 - 1 fase) Qual dos grficos representa uma relao entre as grandezasxeyem queysempre diminui na medida em quex aumenta?

(FUVEST - 2021 - 2 FASE) So dados os pontos no plano cartesiano 𝑃1 = (3; 3), 𝑃2 = (5; 1), 𝑃3 = (3; 1) e 𝑃4 = (2; 5). a) Determine a equao da reta que passa por 𝑃3 e paralela reta que passa por 𝑃1 e 𝑃4. b) Determine a equao da circunferncia que passa pelos pontos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3. c) Sendo 𝐶 a circunferncia do item (b) e 𝑃 o ponto de interseco de 𝐶 com o eixo 𝑂𝑥, que est mais prximo da origem, determine a equao da reta tangente a 𝐶 em 𝑃.

(FUVEST 2021 - 1 fase) A figura ilustra graficamente uma regio de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto X indica um condomnio residencial, e o ponto Y indica a entrada de um parque. Trs moradores realizam caminhos diferentes para chegar ao ponto Y, partindo do ponto X, ilustrados com cores diferentes. Se a, b e c representam as distncias percorridas por esses moradores nesses caminhos, correto afirmar que

(FUVEST - 2021 - 2 FASE) A figura mostra o esboo de um estacionamento com forma retangular de dimenses 40m por 100m. O proprietrio instalou 4 cmeras de segurana distribudas conforme a figura.A cmera A cobre a regio I, as cmeras B e C cobrem a regio II e a cmera D cobre a regio III. A figura apresenta as regies I, II e III em cor e fornece as medidas necessrias. a) Determine a rea da regio I. b) Determine a rea da regio II. c) Qual a porcentagem da rea da regio que no vigiada por cmera alguma, em relao rea total do estacionamento? Note e adote: A figura apresentada no est, necessariamente, em escala.

(FUVEST - 2021 - 2 FASE) dado o sistema linear , em que 𝑝 e 𝑞 so nmeros reais. a) Determine todos os valores de 𝑝 e 𝑞 para que o sistema seja possvel e indeterminado (isto , tenha mais do que uma soluo). b) Determine todos os valores de 𝑝 e 𝑞 para que o sistema tenha soluo (𝑥; 𝑦) com 𝑥=0. c) Determine todos os valores de 𝑝 e 𝑞 para que o sistema no tenha soluo.

(FUVEST - 2021 - 1 FASE) O quadrinho aborda o termo sobre nmeros primos, sobre os quais correto afirmar que:

(FUVEST 2021 - 1 fase) Trs tringulos equilteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros so os vrtices de um pentgono irregular, que est destacado na figura. SeT a rea de cada um dos tringulos eQa rea de cada um dos quadrados, a rea desse pentgono

(FUVEST - 2021 - 2 FASE) Um parque industrial com 24 indstrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um servio de inspeo no ponto O detectou uma substncia proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indstrias, com igual probabilidade. Para autuar as indstrias irregulares, o servio se decidiu pela seguinte estratgia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F , no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas sadas de todas as indstrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenrios examinados pelo servio de inspeo foi o de haver exatamente quatro indstrias irregulares. a) Quantas so as formas possveis de exatamente quatro indstrias irregulares estarem distribudas entre as 24 indstrias do parque? b) Qual a probabilidade, havendo exatamente quatro indstrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22? c) Qual a probabilidade, havendo exatamente quatro indstrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos?