Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que . Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

(FUVEST - 2012) Em um tetraedro regular de lado  a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

(FUVEST - 2012) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação , em que  é um número real positivo,  é dado em anos  é a massa da substância em gramas e  são constantes positivas. Sabe-se que  gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

(FUVEST - 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre doisartrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso,da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato,escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodesescolhidos para a pesquisa de Francisco não sejaminsetos?

(FUVEST 2011) Determine o conjunto de todos os nmeros reais x para os quais vale a desigualdade

(FUVEST 2011) Na figura abaixo, o cubo de vrtices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l. Os pontos M e N so pontos mdios das arestas ABe BC, respectivamente. Calcule a rea da superfcie do tronco de pirmide de vrtices M, B, N, E, F, G.

(FUVEST 2011)Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questes, sendo 7 de Portugus, 4 de Geografia e 3 de Matemtica. Diferentes verses da prova podero ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questes. a) Quantas verses distintas da prova podero ser produzidas? b) A instituio responsvel pelo vestibular definiu as verses classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padro: as 7 primeiras questes so de Portugus, a ltima deve ser uma questo de Matemtica e, ainda mais: duas questes de Matemtica no podem aparecer em posies consecutivas. Quantas verses classe A distintas da prova podero ser produzidas? c) Dado que um candidato vai receber uma prova que comea com 7 questes de Portugus, qual a probabilidade de que ele receba uma verso classe A?

(FUVEST - 2011) Um viajante saiu de Araripe, no Cear, percorreu, inicialmente, 1000 km para o sul, depois 1000 km para o oeste e, por fim, mais 750 km para o sul. Com base nesse trajeto e no mapa acima, pode-se afirmar que, durante seu percurso, o viajante passou pelos estados do Cear,

(FUVEST - 2011) As razes da equao do terceiro grau x - 14x + kx - 64 = 0 So todas reais e formam uma progresso geomtrica. Determine a) as razes da equao; b) o valor de k.

(FUVEST - 2011 - 2 fase) Define-se geometricamente a razo urea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razo urea quando os valores AC/AB e CB/AC so iguais. Esse valor comum chamado razo urea. A razo urea, tambm denominada proporo urea, nmero de ouro ou divina proporo, conquistou a imaginao popular e tema de vrios livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemticas esto corretamente enunciadas, mas muitas afirmaes feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na esttica so falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmaes sobre a razo urea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino mdio trazem conceitos incorretos sobre ela. Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal, 23, 1, january, 1992, pp. 2-19. a) Reescreva o trecho (...) mas muitas afirmaes feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na esttica so falsas ou equivocadas, substituindo a conjuno que o inicia por embora, com as devidas alteraes. b) O verbo da orao Infelizmente, essas afirmaes sobre a razo urea foram amplamente divulgadas est na voz passiva analtica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sinttica, fazendo as devidas alteraes. c) Na figura presente no espao destinado resposta desta questo, o polgono ADEFG um pentgono regular. Utilize semelhana de tringulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razo urea.

(FUVEST - 2011) Uma geladeira vendida em n parcelasiguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto,pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros,o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessasinformaes, conclui-se que o valor de n igual a

(FUVEST - 2011) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das razes da equao f(g(x)) = g(x) igual a

(FUVEST - 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que o ponto mdio de , o ponto mdio dee. Ento, igual a

(FUVEST - 2011) Seja x 0 tal que a sequncia forme, nessa ordem, uma progresso aritmtica. Ento, igual a

(FUVEST - 2011)Sejam x e ynmeros reais positivos tais que x + y =/2 . Sabendo-se que sen(y - x) = 1/3, o valor de tg y - tgx igual