Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Sejam a e b dois nmeros inteiros positivos. Diz-se que a e b so equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes:

(FUVEST - 2017 - 1a fase) O paraleleppedo reto-retngulo ABCDEFGH,representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2. O seno do ngulo HF igual a

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Joo tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas so vendidas em dzias, cada dzia custa R$ 40,00 e h apenas 2 dzias em estoque. Na loja B, as canetas so vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60e h 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas so vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e h 25 canetas em estoque. O maior nmero de canetas que Joo pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no mximo R$ 150,00 igual a

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Cludia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo secreto (ou amigo oculto). Cada nome escrito em um pedao de papel, que colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu prprio nome

(FUVEST - 2017 - 1a fase) O retngulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3e BC = 4.O pontoP pertence ao lado BC e BP = 1.Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ paralelo a AB. Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das reas do retngulo ARQT, do tringulo CQPe do tringulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0, 3[,

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Na figura, o retngulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto mdio do lado BC e N o ponto mdio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente. A rea do tringulo AEF igual a

(FUVEST - 2017) Considere as funesem que o domnio de f o conjunto dos nmeros reais e o domnio de g o conjunto dos nmeros reais maiores do que 0. Seja em que x 0. Ento, h(2) igual a

(FUVEST - 2017 - 1a fase) O polinmiopossui uma raiz complexacuja parte imaginria positiva. A parte real de igual a

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Um reservatrio de gua tem o formato de um cone circular reto. O dimetro de sua base (que est apoiada sobre o cho horizontal) igual a 8 m. Sua altura igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatrio est completamente vazio, inicia-se seu enchimento com gua a uma vazo constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nvel de gua atinja metade da altura do reservatrio de, aproximadamente,

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Duas circunferncias com raios 1 e 2 tm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferncias se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2). O valor de (x1 +y1)2+(x2 +y2)2 igual a

(FUVEST - 2017) Uma quantidade fixa de um gs ideal mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte frmula: V(t) = log2 (5 + 2 sen(t)), 0 t 2, em que t medido em horas e V(t) medido em m3. A presso mxima do gs no intervalo de tempo [0,2] ocorre no instante:

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) So dadas trs circunferncias de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangncia so P1,P2 e P3 Calcule, em funo de r, a) o comprimento do lado do tringulo equiltero Tdeterminado pelas trs retas que so definidas pela seguinte exigncia: cada uma delas tangente a duas das circunferncias e no intersecta a terceira; b) a rea do hexgono no convexo cujos lados so os segmentos ligando cada ponto P1,P2 e P3 aos dois vrtices do tringulo Tmais prximos a ele

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) De 1869 at hoje, ocorreram as seguintes mudanas de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil ris; (2) em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendomil cruzados; em1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais. Quando morreu, em 1869, Brs Cubas possua 300 contos. Se esse valor tivesse ficado at hoje em uma conta bancria, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudana de moeda, o depsito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipottico dessa conta seria, aproximadamente, de um dcimo de

(FUVEST - 2016) Os pontosA, B e C so colineares,=5,=2 e B est entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferncia com centro em A. Traa-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto mdio. Chama-se de P a interseco de r com AD. Ento, AP + BP vale:

(FUVEST - 2016 - 2a FASE) Considere as funes f e g definidas por a) Calcule f(3/2),f(2),f(3),g(-4),g(0) e g(2). b) Encontre x, 1 x 4, tal que f(x) = g(x).