Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo levar uma pea da casa inferior esquerda (casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta pea deve moverse, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente direita. Se apenas uma destas casas existir, a pea ir mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possveis para completar o trajeto so (1, 1) (1, 2) (2, 2) (2, 3) (3, 3) (3, 4) (4, 4) e (1, 1) (2, 1) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (4, 3) (4, 4). a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto? b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opes de movimento, lana-se uma moeda no viciada; se der cara, a pea move-se para a casa direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) ter uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que tm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)As razes do polinmio p(x) = x3- 3x2+ m, onde m um nmero real, esto em progresso aritmtica. Determine a) o valor de m; b) as razes desse polinmio.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Determine as solues da equao (2 cos2x + 3 sen x)(cos2 x - sen2 x) = 0que esto no intervalo [0,2] .

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Um bloco retangular (isto , um paraleleppedo reto-retngulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura cm , com de seu volume cheio de gua, est inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ngulo de 30 com o solo (ver seo lateral abaixo). Determine a altura h do nvel da gua em relao ao solo.

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Sejam A = (0,0), B = (8,0) e C = (1,3) os vrtices de um tringulo e D = (u,v) um ponto do segmento . Sejam E o ponto de interseco de com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseco de com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos x. a) Determine, em funo de u, a rea do quadriltero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a rea do quadriltero AEDF mxima.

(Fuvest 2002) A figura a seguir representa o gráfico de uma função da forma  para -1 ≤ x ≤ 3. Pode-se concluir que o valor de b é:

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 1) A diferena entre dois nmeros inteiros positivos 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminudo em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus clculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois nmeros.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 2) A hipotenusa de um tringulo retngulo est contida na reta r : y = 5x 13 , e um de seus catetos est contido na reta s : y = x 1. Se o vrtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k,5 ) sobre a reta s, determine a) todos os vrtices do tringulo; b) a rea do tringulo.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 3) a) Calcule em funo de e de . b) Calcule em funo de e de . c) Para , resolva a equao: .

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 4) Na figura ao lado, tm-se um cilindro circular reto, onde A e B so os centros das bases e C um ponto da interseco da superfcie lateral com a base inferior do cilindro. Se D o ponto do segmento , cujas distncias a e so ambas iguais a d, obtenha a razo entre o volume do cilindro e sua rea total (rea lateral somada com as reas das bases), em funo de d.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 5) Considere dois nmeros reais e tais que e a) Determine uma relao entre e , para que as equaes polinomiais e possuam uma raiz comum. b) Nesse caso, determine a raiz comum

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 6) No plano complexo, cada ponto representa um nmero complexo. Nesse plano, considere o hexgono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginria, como um de seus vrtices. a) Determine os vrtices do hexgono. b) Determine os coeficientes de um polinmio de grau 6, cujas razes sejam os vrtices do hexgono.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 7) Um agricultor irriga uma de suas plantaes utilizando duas mquinas de irrigao. A primeira irriga uma regio retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma regio compreendida entre duas circunferncias de centro O, e de raios 10 m e 30 m. A posio relativa dessas duas regies dada na figura onde A e B so os pontos mdios das alturas do retngulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O esto alinhados e que BO = 20 , determine a) a rea da interseco das regies irrigadas pelas mquinas; b) a rea total irrigada. Utilize as seguintes aproximaes:

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 8) Um dado, cujas faces esto numeradas de um a seis, dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lanamento. Considere o experimento que consiste em trs lanamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses trs nmeros seja a) par; b) mltiplo de 10.

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questo 9) Dado um nmero real a, considere o seguinte problema: Achar nmeros reais , no todos nulos, que satisfaam o sistema linear: para , onde . a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem soluo? c) Existe, para algum valor de a, uma soluo do problema com ? Se existir, determine tal soluo.