Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(Fuvest 2019 1 fase) O gráfico mostra a evolução diária, em certo intervalo de tempo não especificado na abscissa, de dois índices econômicos, normalizados para que suas médias, no mesmo período, sejam ambas iguais a 1. O valor do índice 1 no dia ݅i é e o valor do índice 2 no dia i é . O gráfico ilustra como cada um dos índices varia em função de ݅i, mostrando os pontos (pontos escuros) e (pontos claros). Para entender melhor a relação entre os dois índices, um novo gráfico foi feito com os pares , isto é, com o índice 1 na abscissa contra o índice 2 na ordenada. O resultado foi:

(FUVEST - 2018 - 2a fase) Em uma competio de vlei, esto inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competio, eles sero classificados pelo nmero de vitrias. Dois ou mais times com o mesmo nmero de vitrias tero a mesma classificao. Em cada jogo, os times tm probabilidade de vencer. a) Explique por que 2 times no podem empatar na classificao com 4 vitrias cada um. b) Qual a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competio com 4 vitrias? c) Qual a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificao?

(FUVEST - 2018 - 2a fase) Considere as funesedefinidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funes f-1e g-1tais que f-1f = ff-1= id e g-1g = gg-1= id, em que id a funo identidade. a) Para, mostre que. b) Mostre que.

(FUVEST - 2018 - 2a fase) Sejam C um subconjunto no vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P C. Diz-se que P enxerga C sob um ngulo se for a medida do menor ngulo com vrtice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ngulo indicado. a) Se for um crculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geomtrico dos pontos que enxergam C sob um ngulo de 60. b) Se for a unio dos segmentos OA e OB , em que A = (a, 0) e  B = (0,b), com a,b 0, determine o lugar geomtrico dos pontos que enxergam C sob um ngulo de 90.

(FUVEST - 2018 - 2a fase) Considere a sequncia a1= 6, a2= 4, a3= 1, a4= 2, e an= an-4, para. Definapara, isto , a soma de k + 1 termos consecutivos da sequncia comeando do n-simo, por exemplo,. a) Encontre n e k tal que. b) Para cada inteiro j,, encontre n e k tal que. c) Mostre que, para qualquer inteiro j,, existem inteirosetais que.

(FUVEST - 2018 - 2a fase) Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente. a) Num tetraedro 0 ABC, os ngulos e medem 90. Sendo e as medidas dos ngulos e , respectivamente, expresse o cosseno do ngulo em funo de e . b) Um navio parte do ponto de latitude 0e longitude 0e navega at chegar a um ponto de latitude 45sul e longitude 45oeste, seguindo a trajetria que minimiza a distncia percorrida. Admita que a Terra seja esfrica de raio R = 6000km. Qual foi a distncia percorrida pelo navio?

(FUVEST - 2018 - 2 FASE) No plano cartesiano real, considere o tringulo ABC, em que A=(5,0), B=(8,0), C=(5,5), e a reta de equao,.Sejaa rea do trapzio ABED, em que D a interseco da reta com a reta de equao x=5, e o segmento DE paralelo ao eixo 0x. a) Encontre o comprimento do segmento DEem funo de. b)Expresse e esboce o grfico da funo.

(FUVEST - 2018 - 2a fase) Considere a funo real definida por. a) Qual o domnio de ? b) Encontre o(s) valor(es) de xpara o(s) qual(is) f(x) = 0.

(FUVEST - 2018 - 2 FASE) Uma cerca tem formato de um polgono regular de lados, cada lado com comprimento . A gua Estrela pasta amarrada cerca por uma corda, tambm de comprimento , no exterior da regio delimitada pelo polgono. Calcule a rea disponvel para pasto supondo que: a) a extremidade da corda presa cerca est fixada num dos vrtices do polgono; b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o permetro da cerca.

(FUVEST - 2018 - 2 FASE) Em um torneio de xadrez, h participantes. a) Na primeira rodada, h jogos. Calcule, em funo de , o nmero de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peas. b) Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual a probabilidade de que, na primeira rodada, s haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Em uma urna, h bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela. II. Se forem retiradas 4bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser. III. Se forem retiradas 12bolas vermelhas dessa urna,a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser. A quantidade de bolas brancas na urna

(FUVEST - 2018) Sejamedefinidas por e, respectivamente. o grfico da funo composta gf :

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Doze pontos so assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que trs pontos sobre trs segmentos distintos nunca so colineares, como na figura. O nmero de tringulos distintos que podem ser desenhados com os vrtices nos pontos assinalados

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemtica, portugus e ingls num concurso, 20 obtiveram nota mnima para aprovao nas trs disciplinas. Alm disso, sabe-se que: I. 14 no obtiveram nota mnima em matemtica II. 16 no obtiveram nota mnima em portugus III. 12 no obtiveram nota mnima em ingls IV. 5 no obtiveram nota mnima em matemtica e em portugus V. 3 no obtiveram nota mnima em matemtica e em ingls VI. 7 no obtiveram nota mnima em portugus e em ingls VII. 2 no obtiveram nota mnima em portugus, matemtica e ingls A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Sejam Dfe Dgos maiores subconjuntos de Rnos quais esto definidas, respectivamente, as funes reais Considere, ainda, Ife Igas imagens de fe de g, respectivamente. Nessas condies,