Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2024) Uma rvore Pitagrica uma figura plana que construda por etapas. Na Etapa 1, ela comea com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual medida dos catetos do tringulo retngulo issceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construo da rvore Pitagrica. A partir de qual etapa da construo o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 dcimo de milsimo do lado do quadrado da Etapa 1? Note e adote:

(FUVEST - 2024) Nmeros figurados so nmeros que expressam o total de pontos em certas configuraes geomtricas. Um exemplo de nmeros figurados so os triangulares, os quais so nmeros naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um tringulo. Os quatro primeiros nmeros triangulares esto ilustrados na figura I. Apesar de o nmero 1 no representar um tringulo, ele considerado um nmero triangular. Outro exemplo de nmero figurado o nmero oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o nmero de colunas uma unidade a mais do que o nmero de linhas. Os quatro primeiros nmeros oblongos esto ilustrados na figura II. Apesar de o nmero 2 no representar um quadro retangular, ele considerado um nmero oblongo. A respeito de nmeros triangulares e nmeros oblongos, assinale a alternativa correta.

(FUVEST - 2023) Duas empresas de entrega de mercadorias, 𝐴 e 𝐵, so concorrentes. A empresa 𝐴 cobra R$ 4,00 por quilo da encomenda e mais R$ 30,00 de taxa fixa. J a tarifa da empresa 𝐵 de R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de at 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa 𝐵 cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00. a) D a expresso da funo que descreve a tarifa cobrada pela empresa 𝐴 em termos do peso 𝑥 da encomenda. b) Para qual intervalo de pesos mais barato pedir uma entrega pela empresa 𝐴 do que pela empresa 𝐵? c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa 𝐴, e outra, pela empresa 𝐵, com peso total de 200 quilos. Quais so as possveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R$ 850,00?

(FUVEST - 2023) Considere e a funo dada por . a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que 𝑓(1) = 1, 𝑓(0) = 0 e 𝑓(-1) = 1. b) Para 𝑎 = -1 e 𝑏 = 4, determine o valor de 𝑐 de modo que a rea do tringulo 𝐴𝐵𝑉 da figura seja igual a 32 u.a., onde 𝑉 o vrtice da parbola representada por 𝑓. c) Considere a funo dada por . Se 𝑎 = 3 e 𝑐 = -8, determine para quais valores de 𝑏 a equao possui ao menos uma soluo real.

(FUVEST - 2023) Considerando e, a) quantas funes (no necessariamente sobrejetoras) existem? b) quantas so as funes que satisfazem , para todo ? c) escolhendo aleatoriamente uma funo bijetora, qual a probabilidade de ter ao menos um ponto fixo? Note e adote:Dizemos que um ponto fixo de se .

(FUVEST - 2023) Considere as circunferncias e a reta s satisfazendo as seguintes propriedades: A circunferncia tem centro (0,0) e raio . Os centros das demais circunferncias pertencem ao eixo . A circunferncia tangente a e a, a circunferncia tangente a e a , e assim por diante. A reta s tangente a cada circunferncia para . O segmento que liga o centro de ao ponto em que s tangencia forma um ngulo de 60 com o eixo . A circunferncia C tangente a no ponto e passa pelo ponto . Com base nessas informaes, a) determine o raio da circunferncia C. b) dado , determine a razo entre os raios das circunferncias consecutivas e . c) determine a rea da regio sombreada na figura.

(FUVEST - 2023) Segundo as normas da NBR 9077, uma escada deve ter todos os degraus com a mesma altura e a mesma largura. Alm disso, indicando por 𝐿 a largura de um degrau e por 𝐴 a sua altura, ambas em centmetros, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas: a) Se , quais so os possveis valores de L? b) A altura do primeiro andar de um sobrado 2,52 metros, medido de um pavimento ao outro. O arquiteto projetou a escada para ter o maior comprimento (soma das larguras dos degraus) possvel, respeitando as normas citadas. Dessa forma, quantos degraus ter a escada e qual a altura e largura de cada um? c) Quais so o maior e o menor valor possvel para a tangente do ngulo de inclinao de uma escada construda de acordo com essa norma? Note e adote:A figura meramente ilustrativa e no representa a escada do enunciado.

(FUVEST - 2023) Um nmero complexo da forma , onde e . a) Determine o valor de para que a parte real do nmero complexo seja igual a zero. b) Determine a soluo da equao . c) Determine o valor de , para que a equao descreva uma circunferncia no plano cartesiano.

(FUVEST- 2023- 1 fase) Em uma feira de produtos orgnicos vendido arroz a granel. A gerente da feira decidiu oferecer descontos progressivos na venda de arroz, de acordo com os seguintes critrios: Quem comprar exatamente 1 kg de arroz paga R$ 5,00. Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, maior ser o total a pagar. Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, menor ser o valor por quilo. Cada uma das alternativas listadas apresenta uma possvel frmula para o total que o cliente ir pagar, em reais, se comprar uma quantidade , em quilos, de arroz. A nica alternativa que atende aos critrios estabelecidos :

(FUVEST- 2023- 1 fase) Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progresso aritmtica crescente. As trs primeiras parcelas foram de R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00. Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana no pagou a 19 parcela, o valor pago por ela foi:

(FUVEST- 2023- 1 fase) Andr e Bianca possuem automveis que podem ser abastecidos com etanol, gasolina ou uma mistura dos dois combustveis. Em um mesmo posto de combustvel, Andr abasteceu seu carro com 18 litros da bomba de etanol e 32 litros da bomba de gasolina; j Bianca abasteceu seu carro com 30 litros da bomba de etanol e 20 litros da bomba de gasolina. Sabendo que o valor total pago por Andr foi 10% maior do que o pago por Bianca, a razo entre os preos, por litro, de etanol e de gasolina :

(FUVEST- 2023- 1 fase) Na teoria musical, o intervalo entre duas notas medido pela razo entre suas frequncias (medidas em Hz). Na escala pitagrica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, s razes e . A soma de intervalos corresponde ao produto das razes. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razo entre as frequncias de . Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagrica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz composto por tons e semitons, a soma igual a:

(FUVEST- 2023- 1 fase) Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questes de Matemtica e seis de Fsica. Ele deve escolher questes de um banco de dados que contm trs questes de Matemtica e oito de Fsica. O nmero de provas distintas possveis, sem levar em conta a ordem em que as questes aparecem, :

(FUVEST- 2023- 1 fase) A FIFA (Federao Internacional de Futebol) implementou, em 2018, a verso mais recente do ranking das selees. Suponha que as selees A e B, com pontuaes e, respectivamente, disputaro uma final de Copa do Mundo. A pontuao atualizada da seleo A aps a partida ser dada por , onde e o valor de depende do resultado da partida de acordo com a tabela: Sabendo que , se a seleo A vencer a partida, sua pontuao aumentar em Note e adote:

(FUVEST- 2023- 1 fase) Para medir o volume de uma pedra com formato irregular, Ana utilizou um recipiente cilndrico de raio e com gua at a altura de . Aps colocar a pedra no recipiente, a altura da gua subiu para . O volume da pedra :