Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta , passa o plano paralelo s arestas e . Dado que AP=3, o quadriltero determinado pelas intersees de com as arestas do tetraedro tem rea igual a

(FUVEST - 2016) Dispe-se de 2 litros de uma soluo aquosa de soda custica que apresenta pH 9. O volume de gua, em litros, que deve ser adicionado a esses 2 litros para que a soluo resultante apresente pH 8

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) Quando a Lua est em quarto crescente ou quarto minguante, o tringulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua retngulo, com a Lua no vrtice do ngulo reto. O astrnomo grego Aristarco, do sculo III a.C., usou este fato para obter um valor aproximado da razo entre as distncias da Terra Lua, , e da Terra ao Sol, . possvel estimar a medida do ngulo , relativo ao vrtice da Terra, nessas duas fases, a partir da observao de que o tempo t1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, um pouco maior do que o tempo t2, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando t1 = 14,9 diase t2 = 14,8 dias , conclui-se que a razo seria aproximadamente dada por

(FUVEST 2016 - 2 FASE) O nvel de intensidade sonora, em decibis (dB), definido pela expresso, na qual a intensidade do som em W/m e um valor de referncia. Os valores de nvel de intensidade sonoraecorrespondem, respectivamente, aos limiares de audio e de dor para o ser humano. Como exposies pronlongadas a nveis de intensidade sonora elevados podem acarretar danos auditivos, h uma norma regulamentadora (NR-15) do Ministrio do Trabalho e Emprego do Brasil, que estabelece o tempo mximo de 8 horas para exposio ininterrupta a sons de 85 dB e especifica que, a cada acrscimo de 5 dB no nvel da intensidade sonora, deve-se dividir por dois o tempo mximo de exposio. A partir dessas informaes, determine a) a intensidade sonoracorrespondente ao limiar de dor para o ser humano; b) o valor mximo do nvel de intensidade sonora, em dB, a que um trabalhador pode permanecer exposto por 4 horas seguidas; c) os valores da intensidadee da potncia P do som no tmpano de um trabalhador quando o nvel de intensidade sonora 100 dB.

(FUVEST - 2015 - 2 FASE) Na figura, na pgina de respostas, a circunferncia de centro em 0 ܱ e raio rtangencia o lado do tringulo ABC no ponto De tangencia a reta no ponto E.Os pontos A,De ܱ0so colineares, AD = 2r e o nguloܱ reto. Determine, em funo de r, a) a medida do lado do tringulo ABC; b) a medida do segmento .

(FUVEST - 2015 - 2 FASE) Resolva as inequaes: a) x3 x2 6x 0; b) log2(x3-x2-6x) 2.

(FUVEST - 2015 - 2 FASE) No cubo ABCDEFGH, representado na figura, na pgina de respostas, cada aresta tem medida 1. Seja Mum ponto na semirreta de origem Aque passa por E. Denote por o ngulo e por xa medida do segmento . a) Exprima cos em funo de x b) Para que valores de xo ngulo obtuso? c) Mostre que, se x = 4, ento mede menos do que 45.

(FUVEST - 2015 - 2a FASE) Resolva os trs itens abaixo. a) Calculee b) Dado o nmero complexo z =, encontre o menor inteiro ݊n 0 para o qual zn seja real. c) Encontre um polinmio de coeficientes inteiros que possua zcomo raiz e que no possua raiz real.

(FUVEST - 2015 - 2 FASE) A funo ݂f est definida da seguinte maneira: para cada inteiro mpar ݊n, a) Esboce o grfico de ݂f para b) Encontre os valores de x,, tais que f(x) =

(FUVEST - 2015 - 2 FASE) Um alfabeto minimalista constitudo por apenas dois smbolos, representados por *e #. Uma palavra de comprimento ݊, ݊n, 1, formada por nescolhas sucessivas de um desses dois smbolos. Por exemplo, # uma palavra de comprimento 1 e #**# uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista, a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas? b) qual o menor valor de ܰn para o qual possvel formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a n?

(FUVEST 2015 - 2 fase) Em uma transformao qumica, h conservao de massa e dos elementos qumicos envolvidos, o que pode ser expresso em termos dos coeficientes e ndices nas equaes qumicas. a) Escreva um sistema linear que represente as relaes entre os coeficientes x, y, z e w na equao qumica b) Encontre todas as solues do sistema em que x, y, z e w so inteiros positivos.

(FUVEST - 2015) A trajetria de um projtil, lanado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, parte de uma parbola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, p da perpendicular traada a partir do ponto ocupado pelo projtil, percorre 30m desde o instante do lanamento at o instante em que o projtil atinge o solo. A altura mxima do projtil, de 200m acima do terreno, atingida no instante em que a distncia percorrida por P,a partir do instante do lanamento, de 10m. Quantos metros acima do terreno estava o projtil quando foi lanado?

(FUVEST - 2015) Na cidade de So Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagasusando o bilhete nico. A tarifa de 3,00 para uma viagem simples (nibus ou metr/trem), e de 4,65 para uma viagem de integrao (nibus e metr/trem). Um usurio vai recarregarseu bilhete nico, que est com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qualseria possvel zerar o saldo do bilhete aps algumas utilizaes

(Fuvest 2015) A equação x2 + 2x + y2 + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,

(FUVEST 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MÂC é igual a: