Questões de Matemática - FUVEST | Gabarito e resoluções

(FUVEST 2014 - 2 FASE) Deseja-se formar uma comisso composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo s seguintes condies: (i) nenhuma unidade da Federao ter dois membros na comisso, (ii) cada uma das duas regies administrativas mais populosas ter dois membros e (iii) cada uma das outras trs regies ter um membro. a) Quantas unidades da Federao tem cada regio? b) Chame de ܰ nmero de comisses diferentes que podem ser formadas (duas comisses so consideradas iguais quando tm os mesmos membros). Encontre uma expresso para ܰ e simplifique-a de modo a obter sua decomposio em fatores primos. c) Chame de ܲa probabilidade de se obter uma comisso que satisfaa as condies exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que ܲ.

(FUVEST 2014) Um apostador ganhou um prêmio de ܴ̈́R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

(FUVEST 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a

(FUVEST - 2014) O nmero real x, que satisfaz 3 x 4, tem uma expanso decimal na qual os 999.999 primeiros dgitos direita da vrgula so iguais a 3. Os 1.000.001 dgitos seguintes so iguais a 2 e os restantes so iguais a zero. Considere as seguintes afirmaes: I. x irracional. II. III. x 102.000.000 um inteiro par. Ento,

(FUVEST 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

(FUVEST - 2014) Sobre a equao correto afirmar que

(FUVEST 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo a medida do ângulo AÔB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se

(FUVEST 2014) Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana.

(Fuvest 2014) Considere o tringulo ABC no plano cartesiano com vrtices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O retngulo MNPQ tem os vrtices M e N sobre o eixo das abscissas, o vrtice Q sobre o lado AB e o vrtice P sobre o lado BC. Dentre todos os retngulos construdos desse modo, o que tem rea mxima aquele em que o ponto P

(FUVEST 2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

(FUVEST - 2014) Trs das arestas de um cubo, com um vrtice em comum, so tambm arestas de um tetraedro. A razo entre o volume do tetraedro e o volume do cubo

(Fuvest 2014) Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo e , respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a Nota: Entende-se por plano horizontal, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra.

(FUVEST - 2013) Um empreiteiro contratou um servio com um grupo de trabalhadores pelo valor de ܴ$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como trs desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o servio, ܴ$ 600,00 alm do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o servio? b) Quanto recebeu cada um deles?

(FUVEST - 2013) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horrio. A partir de cada vrtice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recm-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos so denotadas por A, B, C e D, de modo que os novos segmentos sejam, ento, , , , e . Dado que AB = 4 e que a distncia de D reta determinada por A e B 3, calcule a rea do a) paralelogramo ABCD; b) tringulo BBC; c) quadriltero ABCD.

(FUVEST - 2013 - 2 fase) Representando apenas 19,6% das exportaes brasileiras em 1822 (com a mdia de 18,4% nos anos 1820), o caf passou a liderar as exportaes brasileiras na dcada dos 1830 (com 28,6%), assumindo assim o lugar tradicionalmente ocupado pelo acar desde o perodo colonial. Nos meados do sculo XIX, passava a representar quase a metade do valor das exportaes e, no ltimo decnio do perodo monrquico, alcanava 61,5%. J a participao do acar no quadro dos valores das exportaes brasileiras passou de 30,1%, na dcada de 1820, a apenas 9,9%, nos anos 1880. O algodo alcanava 20,6%, na dcada de 1820, cifra jamais alcanada depois, em todo o perodo monrquico. Com exceo dos anos da guerra civil americana, que se refletiram na elevada participao do produto no conjunto das exportaes dos anos 1870 (18,3%), verifica-se o declnio das exportaes que, nos anos 1880, tm uma participao de apenas 4,2%. O comportamento das exportaes de fumo revela que essas oscilaram em torno de baixas percentagens, durante todo o perodo monrquico. Alcanando 2,5% do valor global das exportaes na dcada de 1820, decaiu, nas duas dcadas seguintes (1,9% para os anos 1830 e 1,8% para os anos 1840). Na segunda metade do sculo, melhorou a posio do fumo no conjunto das exportaes, tendo alcanado, nos anos 1860 e 1870, as maiores percentagens do perodo, com 3% e 3,4%. A participao do cacau no conjunto das exportaes nacionais cresceu de 0,5% na dcada de 1820 para 1,6% na ltima dcada da monarquia, a mais alta porcentagem do perodo. Srgio Buarque de Holanda (org.). Histria geral da civilizao brasileira. II.O Brasil Monrquico. 4. Declnio e queda do imprio. Rio de Janeiro: Difel, 1985, p. 119-126. Adaptado. Com base no texto, responda ao que se pede: a) Elabore um grfico das exportaes brasileiras de caf, acar e algodo no perodo monrquico, incluindo os respectivos dados percentuais (aproximados). b) Qual foi o principal produto de exportao brasileiro, respectivamente, nas dcadas de 1820, 1830 e 1880?