Questões de Matemática - ITA | Gabarito e resoluções

(ITA 2015) (2 fase) Na construo de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de 3 cme 4 cm,ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ngulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere o polinmio p dado por p(x) = 2x3+ ax2+ bx - 16, com a, b IR.Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 uma raiz de p, ento o valor de b - a igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Num tringulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados e , respectivamente, tais que o segmento seja tangente circunferncia inscrita ao tringulo PQR. Sabendo-se que o permetro do tringulo PQR 25 e que a medida de 10, ento o permetro do tringulo PMN igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere todos os tringulos retngulos com os lados medindo ,e.Dentre esses tringulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ngulo, em radianos, igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Seja p o polinmio dado por , com aj IR, j = 0, 1, ..., 15, e a15 0. Sabendo-se que i uma raiz de p e que p(2) = 1, ento o resto da diviso de p pelo polinmio q, dado por q(x) = x3 - 2x2 + x - 2, igual a

Considere os pontosA = (0,-1), B = (0,5) e a reta r: 2x - 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir: I. d(A,r) = d(B,r) II. B é simétrico de A em relação à reta r. III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (-3, 2) ou C = (3, 2). É (são) verdadeira (s) apenas

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere a equao ,com a e b nmeros inteiros positivos. Das afirmaes: I. Se a = 1 e b = 2, ento x = 0 uma soluo da equao. II. Se x soluo da equao, ento ,e. III. no pode ser soluo da equao. (so) verdadeira(s)

(ITA - 2015 - 1 FASE) Seja C uma circunferncia tangente simultaneamente s retas r : 3x + 4y - 4 = 0 e s : 3x + 4y - 19 = 0. A rea do crculo determinado por C igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Uma taa em forma de cone circular reto contm um certo volume de um lquido cuja superfcie dista h do vrtice do cone. Adicionando-se um volume idntico de lquido na taa, a superfcie do lquido, em relao original, subir de

(ITA - 2015 - 1 FASE) Sejaa matriz tal que. Considere as afirmaes a seguir: I. Os elementos de cada linha i formaram uma progresso aritmtica de razo 2i. II. Os elementos de cada coluna j formam uma progresso geomtrica de razo 2. III. tr A um nmero primo. (so) verdadeira(s)

(ITA - 2015 - 1 FASE) Os valores de x [0; 2] que satisfazem a equao 2 sen x - cos x = 1 so:

(ITA - 2015 - 1a FASE) Seja ABCD um trapzio issceles com base maior medindo 15, o lado medindo 9 e o ngulo reto. A distncia entre o lado e o ponto E em que as diagonais se cortam

(ITA - 2015 - 1 FASE) Sejam e nmeros reais tais que , , + ]0; 2[ e satisfazem as equaes e Ento, o menor valor de cos( + ) igual a

(ITA - 2015 - 1 FASE) Considere as afirmaes a seguir: I. O lugar geomtrico do ponto mdio de um segmento , com comprimento fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados uma circunferncia. II. O lugar geomtrico dos pontos (x, y) tais que 6x3 + x2y - xy2 - 4x2 - 2xy = 0 um conjunto finito no plano cartesiano IR2. III. Os pontos (2, 3), (4, -1) e (3, 1) pertencem a uma circunferncia. Destas, (so) verdadeira(s)

Seja (a1, a2, a3, ...) a sequncia definida da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = an-1+ an-2 para n 3.Considere as afirmaes a seguir: I. Existem trs termos consecutivos, ap, ap+1, ap+2, que, nesta ordem, formam uma progresso geomtrica. II. a7 um nmero primo. III. Se n mltiplo de 3, ento an par. (so) verdadeira(s).