Questões de Matemática - ITA | Gabarito e resoluções

(ITA - 2003 - 2 FASE)Encontre todos os valores de], [ para os quais a equao na varivel real x, arctg ( 1+ ) + arctg ( 1 ) = a, admite soluo.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Sabe-se que uma elipse de equao tangencia internamente a circunferncia de equao x2 + y2 = 5 e que a reta de equao 3x + 2y = 6 tangente elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P.

(ITA - 2003 - 2 FASE)Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto mdio do segmentoe F um ponto sobre o segmento tal que m () + m ( ) = m ( ). Prove que cos = cos 2, sendo os ngulos = BF e = ED.

(ITA - 2003 - 2 FASE) Quatro esferas de mesmo raio R 0so tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprimento 2R . Determine, em funo de R, a expresso do volume do tetraedro circunscrito s quatro esferas.

(ITA - 2003 - 1a fase) Seja z C. Das seguintes afirmaes independentes: I. Se , ento II. Se z 0 e, ento . III. Se , ento um argumento de w. (so) verdadeira(s):

(ITA - 2003) O valor de y2 - xz para o qual os nmeros ,x, y, z e sen 75, nesta ordem, formam uma progresso aritmtica, :

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere a funo: A soma de todos os valores de x para os quais a equao tem raiz dupla :

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere uma funo f : no-constante e tal que f(x + y) = f(x) f(y), x,y . Das afirmaes: I. f(x) 0, x . II. f(nx) = [f(x)]n, x , n *. III. f par. (so) verdadeira(s):

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere o polinmio P(x) = 2x + a2x2 + ... + anxn, cujos coeficientes 2, a2, ..., an formam, nesta ordem, uma progresso geomtrica de razo q 0. Sabendo que -1/2 uma raiz de P e que P(2) = 5460, tem-se que o valor de (n2-q3)/q4 igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Dividindo-se o polinmio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x - 1), obtm-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtm-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) divisvel por (x - 2), tem-se que o valor de (ab)/c igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Das afirmaes abaixo sobre a equao e suas solues no plano complexo: I. A equao possui pelo menos um par de razes reais. II. A equao possui duas razes de mdulo 1, uma raiz de mdulo menor que 1 e uma raiz de mdulo maior que 1. III. Se e r uma raiz qualquer desta equao, ento . (so) verdadeira(s) :

(ITA - 2003 - 1a fase) Seja tal que a equao possua uma raiz dupla e inteira x1 e uma raiz x2, distinta de x1. Ento, (k + x1)x2 igual a:

(ITA - 2003 - 1a fase) Considere o conjunto S = {(a, b) N x N: a + b = 18}. A soma de todos os nmeros da forma, (18!)/(a!b!), (a,b) S, :

(ITA - 2003) O nmero de divisores de 17640 que, por sua vez, so divisveis por 3 :

(ITA - 2003 - 1a fase) Sejam A e P matrizes n x n inversveis e B = P-1 AP. Das afirmaes: I. Bt inversvel e (Bt)-1 = (B-1)t. II. Se A simtrica, ento B tambm o . III. det(A - I) = det(B - I), IR. (so) verdadeira(s):