Questões de Matemática - ITA | Gabarito e resoluções

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 23) Com base no grfico da funo polinomialy = f(x)esboado abaixo, responda qual o resto da diviso def(x)por.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 24)Sejam e dois nmeros complexos no-nulos, tais que . Se satisfazem determine o valor dede forma que.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 25) 1. Mostre que se uma matriz quadrada no-nulaAsatifaz a equao A3+ 3A2+ 2A = 0 (1) ento (A + I)3= A + I, em que I a matriz identidade. 2. Sendo dado quesatisfaz equao (1) acima, encontre duas matrizes no-nulas B e C tais que B3+ C3= B + C = A. Para essas matrizes voc garante que o sistema de equaestem soluo (x, y)(0, 0)? Justifique.

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo26) Sejamnmeros reais positivos a1, a2, ... anque formam uma progresso aritmtica de razo positiva. Considere An= a1+ a2+ ... + ane responda, justificando: Para todo, qual o maior entre os nmerose?

(ITA - 2002 - 2 fase - Questo 27)Considere n pontos distintos A1, A2, ... Ansobre uma circunferncia de raio unitrio, de forma que os comprimentos dos arcos ,formam uma progresso geomtrica de termo inicial e razo . Para que valores de n N teremos o comprimento do arco menor quedo comprimento da circunferncia? Obs.: Para todo arco , o comprimento considerado o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al . no sentido anti-horrio.

(ITA - 2002 - 2 fase -Questo 28) Seja S a rea total da superfcie de um cone circular reto de altura h, e seja m a razo entre as reas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expresso que fornea h em funo apenas de S e m.

(ITA - 2002 - 2 fase -Questo 29) Considere o seguinte raciocnio de cunho cartesiano: se a circunferncia de centro C = (h, 0) e raio r intercepta a curva, no pontode forma que o segmentoseja perpendicular reta tangente curva em A, ento x = a raiz dupla da equao em x que se obtm da interseco da curva com a circunferncia. Use esse raciocnio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em A .

(ITA - 2002 - 2 fase -Questo 30) Se x, y e z so ngulos internos de um tringulo ABC e, prove que o tringulo ABC retngulo.

(ITA - 2001 - 1a Fase) Se a IR tal que tem raiz dupla, ento a soluo da equao :

(ITA - 2001 - 1a Fase) O valor da soma a+b para que as razes do polinmio 4x4 - 20x3 + ax2 - 25x + b estejam em progresso aritmtica de razo 1/2 :

(ITA - 2001 - 1a Fase) Se argumento de, ento igual a:

(ITA - 2001 - 1a Fase) O nmero complexo , tem argumento. Neste caso, a igual a:

(ITA - 2001) Um tringulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centmetros. A partir dele, constri-se uma sequncia de tringulos do seguinte modo: os pontos mdios dos lados de um tringulo so os vrtices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centmetros quadrados que est mais prximo da soma das reas dos 78 primeiros tringulos assim construdos, incluindo o tringulo inicial, :

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sabendo que de 1024 a soma dos coeficientes do polinmio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binmio (x+y)n, temos que o nmero de arranjos sem repetio de n elementos, tomados 2 a 2, :

(ITA - 2001 - 1a Fase) A respeito das combinaes mostradas abaixo, temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferena an - bn igual a: e